(from M.J. Shu) 设立体 $vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $vSa$ 的体积与表面积.
解答: 该区域由旋转抛物面与圆锥面围成. 所求体积为 $$eex ea V&=int_0^2 pi cdot 2z d z +int_2^4 pi cdot (4-z)^2 d z\ &quadsex{x^2+y^2=2z,quad x^2+y^2=(4-z)^2}\&=4pi+frac{8pi}{3}\ &=frac{20pi}{3}. eea eeex$$ 所求表面积为 $$eex ea S&=iint_{x^2+y^2leq 4}sex{sqrt{1+z_1'^2+z_2'^2}+ sqrt{1+z_2'^2+z_2'^2}} d x d y\ &quadsex{z_1=frac{x^2+y^2}{2},quad z_2=4-sqrt{x^2+y^2}}\ &=iint_{x^2+y^2leq 4} sqrt{1+x^2+y^2}+sqrt{2} d x d y\ &=int_0^2 sex{sqrt{1+r^2}+sqrt{2}}cdot 2pi r d r\ &=frac{2}{3}sex{5sqrt{5}+6sqrt{2}-1}pi. eea eeex$$