数学分析部分
1. 已知函数 $f(x)=ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.
2. 设方程 $sin x-xcos x=0$ 在 $(0,+infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ex npi+cfrac{pi}{2}-cfrac{1}{npi} <x_n<npi+cfrac{pi}{2}. eex$$
3. 试讨论 $f(x)=xsin x$, $g(x)=xln x$ 在 $[1,infty)$ 上的一致连续性.
4. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有二阶连续导数, 试证存在 $xiin (a,b)$ 使得 $$ex f(a)+f(b)+2fsex{frac{a+b}{2}} =frac{1}{4}(b-a)^2f''(xi). eex$$
5. 求曲面积分 $$ex iint_S z d x d y, eex$$ 其中 $S$ 是曲面 $dps{frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}=1}$, 方向为外侧.
6. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, $g$ 在 $[a,b]$ 上可微且 $g'leq 0$. 证明: 存在 $xiin (a,b)$, 使得 $$ex int_a^b f(x)g(x) d x =g(a)int_a^xi f(x) d x +g(b)int_xi^b f(x) d x. eex$$
7. 设 $f$ 在 $(0,infty)$ 上一致连续, 且对 $forall h>0$, $dps{vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $dps{vlm{x}f(x)}$ 存在.
8. 设 $[0,T]$ 上的非负函数 $f,g,h$ 满足微分不等式 $$ex cfrac{ d f}{ d t}+hleq gf,quad 0leq tleq T. eex$$ 试证: $$ex f(t)+int_0^t h(s) d s leq f(0)sez{ 1+int_0^t g(s) d scdot expsex{int_0^t g(s) d s} },quad 0leq tleq T. eex$$
9. 设 $f(x)$ 在 $bR$ 上任意阶可导, 且 $$ex forall ninbZ^+, fsex{frac{1}{n}}=0. eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.
10. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $forall xin [a,b]$, 存在 $xiin (a,b)$, 使得 $$ex f(x)=frac{f''(xi)}{2}(x-a)(x-b). eex$$
11. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $cin (a,b)$, 存在 $xiin (a,b)$ 使得 $$ex frac{f''(xi)}{2}=frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. eex$$
12. 设 $f$ 在 $bR$ 上 $(n+1)$ 可导, 试证: 对 $forall ainbR$, $$ex frac{ d^n}{ d x^n}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. eex$$
13. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f'(xi)(xi-a)=f(xi)-f(a). eex$$
14. 试求 $$ex vlm{n}n^2sex{x^frac{1}{n}-x^frac{1}{n+1}},quad x>0. eex$$
15. 试求 $$ex vlm{n}sex{int_0^pi x^{2013}sin^n x d x}^frac{1}{n}. eex$$
16. 求参数 $a,b,c$ 的范围, 使得$$sum_{n=3}^infty a^n n^b ln^c n$$
(1) 绝对收敛;
(2) 条件收敛
(3) 发散.
17. 半径为 $r$ 的球的中心在单位球 $x^2+y^2+z^2=1$ 的表面上, 问 $r$ 取何值时该球位于单位球内部分的表面积最大?
18. 设 $a>0$, 求 $dps{y=frac{x^3}{2a-x}}$ 与 $x=2a$ 所围成的面积.
19. 讨论 $f(x)=xsin x, x^al ln x (0<al<1)$ 在 $[1,infty)$ 上是否一致连续, 并说明理由.
20. 设 $$ex f(x)=int_x^{x^2} sex{1+frac{1}{2t}}^tsez{e^{frac{1}{sqrt{t}}}-1} d t,quad t>0. eex$$ 求 $$ex vlm{n}f(n)sinfrac{1}{n}. eex$$
高等代数部分
1. 设 $mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),cdots,p_r(x)$ 是数域 $mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首项系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)cdots p_r(x)$ 在数域 $mathbb{P}$ 上无重根.
2. 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$ex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). eex$$ 设 $scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$ex scrA(f(x))=r(x). eex$$ 试证: $scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.
3. 计算行列式: $$ex D_n=sev{a{cccccc} x_1y_1&x_1y_2&x_1y_3&cdots&x_1y_{n-1}&x_1y_n\ x_1y_2&x_2y_2&x_2y_3&cdots&x_2y_{n-1}&x_2y_n\ x_1y_3&x_2y_3&x_3y_3&cdots&x_3y_{n-1}&x_3y_n\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ x_1y_{n-1}&x_2y_{n-1}&x_3y_{n-1}&cdots&x_{n-1}y_{n-1}&x_{n-1}y_n\ x_1y_n&x_2y_n&x_3y_n&cdots&x_{n-1}y_n&x_ny_n ea}. eex$$
4. 设 $bP$ 是一个数域, $f(x),g(x)inbP[x]$. 证明: $$ex (f(x),g(x))=1lra (f(x^n),g(x^n))=1, eex$$ 这里, $n$ 是任意给定的自然数.
5.
(1) 若 $lm eq 0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值, 则 $dps{frac{1}{lm }|A|}$ 是 $A^*$ 的一个特征值;
(2) 若 $al$ 是 $A$ 的一个特征向量, 则 $al$ 也是 $A^*$ 的一个特征向量;
(3) $(AB)^*=B^*A^*$.
6. 设 $W$ 为数域 $bP$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间, $scrA$ 是 $V$ 的一个线性变换, $scrA W$ 表示 $W$ 中向量的像组成的子空间, 令 $W_0=Wcap ker scrA$, 证明: $$ex dim W=dim scrA W+dim W_0. eex$$
7. 设 $A$, $E-A$, $E-A^{-1}$ 均为可逆矩阵, 试证: $$ex (E-A)^{-1}+(E-A^{-1})^{-1}=E. eex$$
8. 设 $scrA$ 是线性空间 $V$ 上的一个线性变换, 记 $$ex ker scrA=sed{alin V; scrAal=0},quad im scrA=sed{scrAal; alin V}. eex$$ 试证: $$ex im scrAcap ker scrA=sed{0}lra ker scrA=ker (scrA^2). eex$$
9. 设 $U,W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个子空间, 且 $$ex dim U+dim W=n. eex$$ 求证: 存在 $V$ 上的线性变换 $scrA$ 使得 $$ex ker scrA=U,quad im scrA=W. eex$$
10. 设 $scrA$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 且 $$ex exists rin bZ^+,st ker(scrA^r)=ker(scrA^{r+1}). eex$$ 试证: $$ex forall sinbZ^+,quad ker (scrA^r)=ker(scrA^{r+s}). eex$$
11. 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $scrA$, $scrB$ 是 $V$ 上的两个线性变换, 且 $scrA$ 有 $n$ 个互异的特征值. 证明: $scrAscrB=scrBscrA$ 的充要条件是 $scrB$ 是 $scrA^0=scrE$ (恒等变换), $scrA$, $scrA^2$, $cdots$, $scrA^{n-1}$ 的线性组合.
12. 设 $scrA$ 是数域 $bF$ 上的线性空间 $V$ 上一个线性变换, 在 $bF[x]$ 中, $$ex f(x)=p(x)q(x). eex$$ 求证: $$ex ker(f(scrA))=ker (p(scrA))oplus ker (q(scrA)). eex$$
13. 设 $$ex A=sex{a{ccc} 0&10&30\ 0&0&2010\ 0&0&0 ea}. eex$$ 试证: 矩阵方程 $X^2=B$ 无解.
14. 设 $V$ 是数域 $bF$ 上的有限维向量空间, $scrA$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: $V$ 能够分解成两个子空间的直和 $V=Uoplus W$, 其中 $U,W$ 满足: 对 $forall uin U$, 存在 $kinbZ^+$, 使得 $scrA^k(u)=0$; 对 $forall win W, forall minbZ^+$, 存在 $w_min V$, 使得 $w=scrA^m(w_m)$.
15. 设 $V$ 是实数域 $bR$ 上的 $n$ 维线性空间, $scrA$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $scrA^2=-scrE$.
(1) 证明: $n$ 是偶数;
(2) 若 $scrB$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $scrBscrA=scrAscrB$, 则 $det(scrB)geq 0$.
16. 已知二次型 $$ex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$ex f(x,y,z)=4 eex$$ 表示什么曲面?
17. 设 $scrA$, $scrB$ 是某数域上的 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $$ex left{a{ll} scrA circ scrB =scrBcirc scrA,\ exists Nin bZ^+, s.t. scrA^N=scrO. ea ight. eex$$ 证明: $$ex scrA+scrB mbox{ 是可逆线性变换} lra scrB mbox{ 是可逆线性变换}. eex$$
18. 设 $scrA$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, 且 $scrA^m=scrE (m>1)$. 记 $W_scrA=sed{alin V; scrAal=al}$, $W_scrA^perp$ 为其正交补, 而 $$ex forall alin V, exists | etain W_scrA, gammain W_scrA^perp, st al=eta+gamma. eex$$ 试证: $$ex eta=frac{1}{m}sum_{i=1}^m scrA^{i-1}al. eex$$
19. 设 $V=bC^{n imes n}$ 表示复数域 $bC$ 上的 $n$ 阶方阵关于矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法构成的线性空间, $Ain V$, 定义 $V$ 上的变换 $scrA$ 如下: $$ex scrA(X)=AX-XA,quad forall Xin V. eex$$ 试证:
(1) $scrA$ 是线性变换;
(2) $scrA(XY)=X scrA(Y)+ scrA(X) Y$;
(3) $0$ 是 $scrA$ 的一个特征值;
(4) 若 $A^k=0$, 则 $scrA^{2k}=scrO$.
20. 设 $lm_1,cdots,lm_n$ 是 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的全部特征值, 但 $-lm_i (i=1,2,cdots,n)$ 不是 $A$ 的特征值, 定义 $bR^{n imes n}$ 的线性变换 $$ex scrA(X)=A^TX+XA,quad forall XinbR^{n imes n}. eex$$
(1) 试证: $scrA$ 是可逆线性变换;
(2) 对任意实对称矩阵 $C$, 必存在唯一的实对称矩阵 $B$, 使得 $A^TB+BA=C$.
21. 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶正定矩阵, 证明:
(1) 若 $AB=BA$, 则 $AB$ 也是正定矩阵;
(2) 若 $A-B$ 正定, 则 $B^{-1}-A^{-1}$ 也正定.
22. 设 $n$ 阶方阵 $A$ 正定. 再设
(1) $b_1,cdots,b_n$ 是任意 $n$ 个非零实数, 试证: 矩阵 $B=(a_{ij}b_ib_j)$ 也正定.
(2) $B$ 为 $n imes m$ 实矩阵, 且 $ ank(B)=m$, 试证: $B^TAB$ 也正定.
(3) $B$ 为 $n$ 阶正定阵, 试证: $C=(a_{ij}b_{ij})$ 也正定.
23. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且 $A$ 为非零半正定阵, $B$ 为正定阵, 试证: $|A+B|>|B|$.
24. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, 试证: 存在正交阵 $P$, 正定阵 $U,V$ 使得 $$ex A=RU=VR. eex$$
25. 设 $Q$ 为 $n$ 阶正定阵, $x$ 为 $n$ 维列向量, 试证: $$ex 0leq x^T (Q+xx^T)^{-1}x<1. eex$$
26. 设 $A$, $B$ 均为实对称矩阵, $A$ 正定. 试证: $B$ 正定当且仅当 $AB$ 的特征值全大于零.
27. 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $x$, $y$ 为 $n$ 维列向量且满足 $x^Ty>0$. 证明矩阵 $$ex M=A+cfrac{xx^T}{x^Ty} -cfrac{Ayy^TA}{y^TAy} eex$$ 正定.
28. 证明: $A=sex{a_{ij}}$ 是正定矩阵, 其中 $$ex a_{ij}=frac{1}{i+j-1}. eex$$
29. 设 $W$ 是欧氏空间 $V$ 的子空间, 定义 $alin V$ 到 $W$ 的距离 $ d (al,W)=|al-al'|$, 其中 $al'$ 为 $al$ 在 $W$ 上的正交投影. 设 $al_1,cdots,al_m$ 为 $W$ 的一组基, 试证: $$ex d (al,W)=sqrt{cfrac{G(al_1,cdots,al_m,al)}{G(al_1,cdots,al_m)}}, eex$$ 其中 $G(al_1,cdots,al_m)$ 为 $al_1,cdots,al_m$ 的 Gram 矩阵.
30. 设 $n$ 级实对称矩阵 $A$ 的所有一级主子式之和与所有二级主子式之和均为零. 证明 $A$ 是零矩阵.
31. 记 $lm_1(A)geq lm_2(A)geqcdotsgeq lm_n(A)$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值. 试证:
(1) 若 $A,B$ 均为实对称矩阵, 实数 $0leq aleq 1$, 则对 $i=1,2,cdots,n$, 有 $$ex alm_i(A)+(1-a)lm_n(B)leq lm_i(aA+(1-a)B)leq alm_i(A)+(1-a)lm_1(B); eex$$
(2) 若 $B$ 半正定, 则 $$ex lm_1(A+B)geq lm_1(A),quad lm_n(A+B)geq lm_n(A). eex$$
32. 设 $A,B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵. 试证: $A,B$ 无公共特征值的充要条件是矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解.
33. 试证: 不存在 $n$ 阶矩阵 $X,Y$ 使得 $XY-YX=E$.
34. 设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 试证: $$ex frac{ d}{ d t}|A(t)|=|A(t)|cdot r sez{A^{-1}(t)cdotfrac{ d A(t)}{ d t}}. eex$$
35. 设 $n$ 阶反对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式为 $1$. 对任意的 $x$, 试计算 $B=(a_{ij}+x)$ 的行列式.
36. 设 $A$ 为正交阵, $A$ 的特征值均为实数, 试证: $A$ 为对称矩阵.
37.
(1) 对任意矩阵 $A$, 矩阵方程 $AXA=A$ 都有解;
(2) 如果矩阵方程 $AY=C$ 和 $ZB=C$ 有解, 则方程 $AXB=C$ 有解.
38. 设 $A$, $B$ 均为实对称矩阵, $A$ 正定. 试证: $B$ 正定当且仅当 $AB$ 的特征值全大于零.
39. 设 $f$ 是 $bC^{n imes n}$ 到 $bC$ 的线性映射, 满足 $f(E)=n$, 且对任意的矩阵 $A,Bin bC^{n imes n}$, 有 $f(AB)=f(BA)$. 试证: $f= r$.
40. 设 $A$ 为对称矩阵, 存在线性无关的向量 $x_1,x_2$, 使得 $x_1^TAx_1>0$, $x_2^TAx_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 $x_3,x_4$ 使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关, 且 $x_3^TAx_3=x_4^TAx_4=0$.