[裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法 (第 2 版), 北京: 高等教育出版社, 2006 年] (Page 436, T 4.5.14) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,+infty)$ 上可积, 且当 $t o+infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $lm<0$, 证明: 当 $t o+infty$ 时, $$ex int_t^{+infty} p( au)e^{lm au} d au =o(t^{N+1})e^{lm t}. eex$$
证明: 原题给的是 $p(t)$ 连续. 由 $p(t)=o(t^N)$ $(t o+infty)$ 知 $$ex forall ve>0, exists Tgeq 1,st tgeq T a |p(t)|leq ve t^N. eex$$ 于是当 $tgeq T$ 时, $$eex ea sev{int_t^{+infty} p( au)e^{lm au} d au} &leq ve cdot int_t^{+infty} au^N e^{lm au} d au\ &<ve cdot C t^N e^{lm t}. eea eeex$$ 这里, 最后一步可通过分部积分得到, 且 $C$ 依赖于 $lm$, $N$.