设 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的对偶空间, 定义域为 $[0,1]$. 试证:
(1) $sed{hsin (2pi hx); h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界;
(2) 试求 $hsin (2pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱极限.
证明:
(1) 对 $forall fin H^1_0$, $sen{f}_{H^1}leq 1$, $$eex ea sef{hsin (2pi hx),f(x)}&=int_0^1 hsin (2pi hx)f(x) d x\ &=-frac{1}{2pi} int_0^1 f(x) d cos(2pi hx)\ &=frac{1}{2pi} int_0^1 f'(x)cos (2pi hx) d x. eea eeex$$ 故 $$ex sen{hsin (2pi hx)}_{H^{-1}}leq frac{1}{2pi}. eex$$
(2) 由 Riemann-Lebesgue 引理, $$ex sef{hsin (2pi hx),f(x)} =frac{1}{2pi} int_0^1 f'(x)cos (2pi hx) d x o 0quadsex{h oinfty}. eex$$ 故 $$ex hsin (2pi hx) ightharpoonup 0,mbox{ in }H^{-1}. eex$$