1 ($20'=5 imes 4'$) 填空题.
(1)设 $$ex sex{a{ccc} 1&1&-1\ 0&2&2\ 1&-1&0 ea}X=sex{a{ccc} 1&-1&1\ 1&1&0\ 2&1&1 ea}, eex$$ 则 $X=?$
解答: $$eex ea X=&sex{a{ccc} 1&1&-1\ 0&2&-2\ 1&-1&0 ea}^{-1}sex{a{ccc} 1&-1&1\ 1&1&0\ 2&1&1 ea}\ &=frac{1}{6}sex{a{ccc} 2&1&4\ 2&1&-2\ -2&2&2 ea}sex{a{ccc} 1&-1&1\ 1&1&0\ 2&1&1 ea}\ &=frac{1}{6}sex{a{ccc} 11&3&6\ -1&-3&0\ 4&6&0 ea}. eea eeex$$
(2)在欧氏空间 $bR^3$ 中, 已知 $$ex alpha=sex{frac{1}{2},1,-frac{1}{3}},quad eta=sex{frac{1}{3},2,5}, eex$$ 且内积按通常的定义, 则 $alpha$ 与 $eta$ 的夹角为?
解答: 夹角为 $$ex arccosfrac{sef{alpha,eta}}{|alpha|cdot |eta|} =frac{9}{7sqrt{262}}. eex$$
(3)设 $dps{A=sex{a{cc}E_n&B\ 0&E_nea}}$, 则 $A^{-1}=?$
解答: 由 $$ex sex{a{cccc} E_n&B&E_n&0\ 0&E_n&0&E_n ea} rasex{a{cccc} E_n&0&E_n&-B\ 0&E_n&0&E_n ea} eex$$ 知 $$ex A^{-1}=sex{a{cc} E_n&-B\ 0&E_n ea}. eex$$
(4)在 $bR^3$ 中, 基 $$ex ve_1=(1,0,1),quad ve_2=(2,1,0),quad ve_3=(1,1,1) eex$$ 的度量矩阵为?
解答: 所求为 $$ex sex{sef{ve_i,ve_j}} =sex{a{ccc} 2&2&2\ 2&5&3\ 2&3&3 ea}. eex$$
(5)设 $f(x)=6x^4-x^3+5x^2-x-1$, 则 $f(x)$ 的有理根为?
解答: 设 $b/a (a,binbZ, a eq 0)$ 为 $f$ 的有理根, 则 $amid 6, bmid (-1)$. 于是 $$ex a=pm 1,pm 2,pm 3,pm6;quad b=pm 1. eex$$ 又由 $$ex f(1)=8, f(-1)=12, fsex{frac{1}{2}}=0, fsex{-frac{1}{2}}=frac{5}{4}, eex$$ $$ex fsex{frac{1}{3}}=-frac{20}{27}, fsex{-frac{1}{3}}=0, fsex{frac{1}{6}}=-frac{37}{36}, fsex{-frac{1}{6}}=-frac{37}{54} eex$$ 知 $f$ 的有理根为 $$ex -frac{1}{3},quad frac{1}{2}. eex$$
2($20'=6'+7'+7'$) 设 $bP,bP_1$ 是数域, $bPsubset bP_1$, $f(x),g(x)in bP[x]$. 证明:
(1)若在 $bP_1[x]$ 中有 $f(x)mid g(x)$, 则在 $bP[x]$ 中也有 $f(x)mid g(x)$;
(2)$f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $bP[x]$ 中互素当且仅当 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $bP_1[x]$ 中互素;
(3)设 $f(x)$ 是 $bP[x]$ 中的不可约多项式, 则 $f(x)$ 在复数域 $bC$ 上的根都是单根.
证明:
(1)由辗转相除及域 $bP$ 的封闭性知存在唯一的 $p(x),r(x)inbP[x]$, 使得 $$ex g(x)=p(x)f(x)+r(x). eex$$ 若在 $bP_1[x]$ 中, $fmid g$, 则存在唯一的 $p_1(x)inbP_1[x]$, 使得 $$ex g(x)=p_1(x)f(x). eex$$ 由唯一性知 $p_1(x)=p(x), r(x)=0$. 而 $g(x)=p(x)f(x)$, 在 $bP[x]$ 中也有 $f(x)mid g(x)$.
(2)由辗转相除知, $f,g$ 的最大公因式不依赖于所讨论的数域, 而 $$ex (f(x),g(x))_{bP[x]}=(f(x),g(x))_{bP_1[x]}. eex$$
(3)用反证法. 若 $p(x)$ 在 $bC$ 上有重根 $a$, 则 $$ex p(a)=0,quad p'(a)=0. eex$$
(a)若 $dps{(p(x),p'(x))_{bP[x]}=1}$, 则 $$ex exists u(x),v(x)inbP[x],st u(x)p(x)+v(x)p'(x)=1. eex$$ 将 $a$ 代入有 $0=1$. 这是一个矛盾.
(b)若 $$ex (p(x),p'(x))_{bP[x]}=d(x),quad deg d(x)geq 1. eex$$ 则 $$ex d(x)mid p(x), d(x)mid p'(x) a deg d(x)leq deg p'(x)<deg p(x). eex$$ 这说明 $p(x)$ 在 $bP[x]$ 上可表示为两个次数比 $p(x)$ 低的多项式的乘积, 这与 $p(x)$ 不可约矛盾.
3($15'$) 计算行列式 $$ex D_n=sev{a{cccc} 1&1&cdots&1\ x_1&x_2&cdots&x_n\ x_1^2&x_2^2&cdots&x_n^2\ cdots&cdots&cdots&cdots\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&cdots&x_n^{n-2}\ x_1^n&x_2^n&cdots&x_n^n ea}. eex$$
解答: 比较 $$ex sev{a{ccccc} 1&1&cdots&1&1\ x_1&x_2&cdots&x_n&x\ x_1^2&x_2^2&cdots&x_n^2&x\ cdots&cdots&cdots&cdots&cdots\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&cdots&x_n^{n-2}&x^{n-2}\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&cdots&x_n^{n-1}&x^{n-1}\ x_1^n&x_2^n&cdots&x_n^n&x^n ea}=prod_{1leq i<jleq n} (x_j-x_i)cdot prod_{i=1}^n (x-x_i) eex$$ 两端 $x^{n-1}$ 的系数有 $$ex -D_n=prod_{1leq i<jleq n} (x_j-x_i)cdot sex{-sum_{i=1}^n x_i}, eex$$ $$ex D_n=prod_{1leq i<jleq n} (x_j-x_i)cdot sum_{i=1}^n x_i. eex$$
4($20'$) 用正交线性替换化二次型 $$ex f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1x_2 +4x_1x_3+8x_2x_3 eex$$ 为标准型.
解答: $f$ 的矩阵为 $$ex A=sex{a{ccc} 1&-2&2\ -2&-2&4\ 2&4&-2 ea}. eex$$ 由 $|lambda E-A|=0$ 知 $A$ 的特征值为 $$ex lambda_1=-7 (mbox{单重}),quad lambda_2=2 (mbox{二重}). eex$$ 由 $$ex lambda_1E-A rasex{a{ccc} 2&0&1\ 0&1&1\ 0&0&0 ea} eex$$ 知 $A$ 的属于特征值 $lambda_1=-7$ 的特征向量为 $$ex eta_1=sex{a{ccc} 1\ 2\ -2 ea}. eex$$ 由 $$ex lambda_2E-A rasex{a{ccc} 1&2&-2\ 0&0&0\ 0&0&0 ea} eex$$ 知 $A$ 的属于特征值 $lambda_2=2$ 的特征向量为 $$ex eta_2=sex{a{ccc} -2\ 1\0 ea},quadeta_3=sex{a{ccc} 2\0\1 ea}. eex$$ 将 $eta_1,eta_2,eta_3$ 标准正交化有 $$eex ea ve_1&=frac{eta_1}{|eta_1|}=eta_2=sex{a{ccc} frac{1}{3}\frac{2}{3}\-frac{2}{3} ea};\ ve_2&=frac{eta_2-sef{eta_2,ve_1}ve_1}{} =sex{a{ccc} -frac{2}{sqrt{5}}\frac{1}{sqrt{5}}\0 ea};\ ve_3&=frac{eta_3-sef{eta_3,ve_1}ve_1-sef{eta_3,ve_2}ve_2}{} =sex{a{ccc} frac{2}{3sqrt{5}}\ frac{4}{3sqrt{5}}\ frac{sqrt{5}}{3} ea}. eea eeex$$ 取 $$ex P=(ve_1,ve_2,ve_3)=sex{a{ccc} frac{1}{3}&-frac{2}{sqrt{5}}&frac{2}{3sqrt{5}}\ frac{2}{3}&frac{1}{sqrt{5}}&frac{4}{3sqrt{5}}\ -frac{2}{3}&0&frac{sqrt{5}}{3} ea}, eex$$ 则 $P$ 为正交阵, 且 $$ex P^tAP=sex{a{ccc} -7&&\ &2&\ &&2 ea}. eex$$ 于是在正交变换 $y=P^tx$ 下, $f$ 变为标准型 $$ex f=x^tAx=x^tPcdot P^tAPcdot P^tx =y^tsex{a{ccc} -7&&\ &2&\ &&2 ea}y=-7y_1^2+2y_2^2+2y_3^2. eex$$
5($20'=10'+10'$) 设 $L(V)$ 表示数域 $bP$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的全部线性变换组成的集合. 证明:
(1)$L(V)$ 对于线性变换的加法和数量乘法构成 $bP$ 上的一个线性空间;
(2) $L(v)$ 与数域 $bP$ 上 $n$ 级方阵构成的线性空间 $bP^{n imes n}$ 同构.
证明:
(1)对 $forall scrA,scrBin L(V)$, $kinbP$, 有 $$ex (scrA+scrB)(alpha)=scrAalpha+scrBalpha,quad forall alphain V; eex$$ $$ex (kscrA)(alpha)=kcdot scrAalpha,quad forall alpha in V. eex$$ 如此, $L(V)$ 构成 $bP$ 上的一线性空间.
(2)取定 $V$ 的一组基 $ve_1,cdots,ve_n$, 则 $scrA$ 在该基下的矩阵为 $$ex scrA(ve_1,cdots,ve_n)=(ve_1,cdots,ve_n)A. eex$$ 此 $scrA$ 与 $A$ 的对应就是 $L(V)$ 到 $bP^{n imes n}$ 上的一一对应. 故而有结论.
6($20'$) 设 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_minbR^n$ 是齐次线性方程组 $Ax0$ 的基础解系, $k,lin bR$, $$ex eta_1=kalpha_1-lalpha_2, eta_2=kalpha_2-lalpha_3, cdots, eta_{m-1}=kalpha_{m-1}-lalpha_m, eta_m=kalpha_m-lalpha_1. eex$$ 试问: $k,l$ 应该满足什么关系, 使得 $eta_1,eta_2,cdots,eta_{m-1},eta_m$ 是方程组 $Ax=0$ 的基础解系? 反之, 当 $eta_1,eta_2,cdots,eta_{m-1},eta_m$ 是方程组 $Ax=0$ 的基础解系时, 这个关系必须成立 (请详细论证).
解答: 由题意, $$eex ea (eta_1,cdots,eta_m)=(alpha_1,cdots,alpha_m) sex{a{ccccc} k&&&&-l\ -l&k&&&\ &-l&ddots&&\ &&ddots&ddots&\ &&&-l&k ea}. eea eeex$$ 为使 $eta_1,cdots,eta_m$ 为 $Ax=0$ 的基础解系, 必须且仅须 $dps{sex{a{ccccc} k&&&&-l\ -l&k&&&\ &-l&ddots&&\ &&ddots&ddots&\ &&&-l&k ea}}$ 可逆, 此即 $dps{D_m=sev{a{ccccc} k&&&&-l\ -l&k&&&\ &-l&ddots&&\ &&ddots&ddots&\ &&&-l&k ea} eq0}$. 又 $D_m$ 按第一行展开有 $$ex D_m=k^m+(-1)^{m+1}(-l)(-l)^{m-1} =k^m-l^m, eex$$ 故所求为 $k^m eq l^m$.
7($20'=10'+10'$) 设 $dps{A=sex{a{ccc} 2&0&3\ 1&-1&0\ 0&2&1 ea}}$
(1)把 $A$ 写成若干初等矩阵的乘积;
(2)把 $A^{-1}$ 写成 $A$ 的多项式.
解答:
(1)由 $$ex sex{a{ccc} 1&0&-3\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 2&0&3\ 1&-1&0\ 0&2&1 ea}sex{a{ccc} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&-2&1 ea}=sex{a{ccc} 2&-6&0\ 1&-1&0\ 0&0&1 ea}, eex$$ $$ex sex{a{ccc} 1&-6&0\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 2&-6&0\ 1&-1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 1&0&0\ 1&1&0\ 0&0&1 ea}=sex{a{ccc} -4&0&0\ 0&-1&0\ 0&0&1 ea} eex$$ $$ex sex{a{ccc} -4&0&0\ 0&-1&0\ 0&0&1 ea}=sex{a{ccc} -4&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 1&0&0\ 0&-1&0\ 0&0&1ea} eex$$ 知 $$eex ea sex{a{ccc} 2&0&3\ 1&-1&0\ 0&2&1 ea}&=sex{a{ccc} 1&0&3\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 1&6&0\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} -4&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 ea}\ &quadsex{a{ccc} 1&0&0\ 0&-1&0\ 0&0&1ea}sex{a{ccc} 1&0&0\ -1&1&0\ 0&0&1 ea}sex{a{ccc} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1 ea}. eea eeex$$
(2)由 $|lambda E-A|=lambda^3-2lambda^2-lambda-4$ 及 Hamilton-Caylay 定理知 $$ex A^3-2A^2-A-4E=0 a frac{1}{4}(A^2-2A-E)A=E, eex$$ 而 $$ex A^{-1}=frac{1}{4}(A^2-2A-E). eex$$
8($15')$ 试证: 欧氏空间中两个向量 $alpha,eta$ 正交的充分必要条件是: 对任意实数 $t$, 都有 $|alpha+teta|geq |alpha|$.
证明:
(1)$$eelabel{261.8:1} ea &quad forall tinbR, |alpha+teta|geq |alpha|\ &lra forall tin bR, |alpha+teta|^2geq |alpha|^2\ &lra forall tinbR, |eta|^2t^2-2sef{alpha,eta}tgeq 0. eea eee$$
(2)$ a$ 若 $sef{alpha,eta}=0$, 则显然 eqref{261.8:1} 成立.
(3)$la$ 若 eqref{261.8:1} 成立, 则 $$eex ea t>0& a |eta|^2tgeq 2sef{alpha,eta} a 0geq sef{alpha,eta} (t o 0^+),\ t<0& a |eta|^2tleq 2sef{alpha,eta} a 0leq sef{alpha,eta} (t o 0^-). eea eeex$$ 故 $sef{alpha,eta}=0$.