[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)

设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $xin (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$ex f(a+b)<f(a)+f(b). eex$$

 

证明: 对固定的 $b>0$, 令 $$ex F(x)=f(x+b)-f(x)-f(b), eex$$ 则 $F(0)=0$; 且由 $f''(x)<0$ 知 $$ex F'(x)=f'(x+b)-f'(x)<0. eex$$ 于是 $$ex F(a)<F(0)=0. eex$$