设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $cin (a,b)$, 存在 $xiin (a,b)$ 使得 $$ex frac{f''(xi)}{2}=frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. eex$$
提示: 考虑函数 $$eex ea F(t)&=f(t)-frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}(t-b)(t-c)\ &quad-frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}(t-a)(t-c)\ &quad-frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}(t-a)(t-b), eea eeex$$ 则 $$ex F(a)=F(b)=F(c)=0. eex$$ 应用 Rolle 定理两次即得结论.