1. 设 $f(al,eta)$ 为线性空间 $V$ 上的非退化双线性函数, 试证: $$ex forall gin V^*, exists | alin V,st f(al,eta)=g(eta),quad forall etain V. eex$$
证明: (1) 唯一性: 设 $ ildeal$ 也适合题意, 则 $$eex ea &quad f(al,eta)=f( ildeal,eta),quad forall etain V\ & a f(al- ildeal,eta)=0,quad forall etain V\ & a al- ildeal=0quadsex{fmbox{ 的非退化性}}. eea eeex$$
(2) 存在性: 取 $V$ 的一组基 $ve_1,cdots,ve_n$, 记 $a_{ij}=f(ve_i,ve_j)$, 则对 $$ex al=sum_{i=1}^n a_ive_i,quad eta=sum_{i=1}^n b_ive_i, eex$$ 有 $$ex f(al,eta)=sum_{i,j=1}^n a_{ij}a_ib_j=al^TAeta. eex$$ 由 $f$ 非退化及 $$eex ea &quad f(al,eta)=0,quad forall etain V\ &lra al^TAeta=0,quadforall etain V\ &lra al^TA=0 eea eeex$$ 知 $A$ 可逆. 对 $gin V^*$, 取 $$ex al=(ve_1,cdots,ve_n)(A^{-1})^T sex{a{c} g(ve_1)\vdots\g(ve_n) ea}in V, eex$$ 则 $$eex ea f(al,eta)&=(g(ve_1),cdots,g(ve_n)) A^{-1}cdot Acdot sex{a{l} b_1\ vdots\ b_n ea}\ &=sum_{i=1}^n b_ig(xi_i)\ &=g(eta),quad forall etain V. eea eeex$$
2. 设 $scrA$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, 且 $scrA^m=scrE (m>1)$. 记 $W_scrA=sed{alin V; scrAal=al}$, $W_scrA^perp$ 为其正交补, 而 $$ex forall alin V, exists | etain W_scrA, gammain W_scrA^perp, st al=eta+gamma. eex$$ 试证: $$ex eta=frac{1}{m}sum_{i=1}^m scrA^{i-1}al. eex$$
证明: 设 $$ex U=sed{alin V;al+scrAal+cdots+scrA^{m-1}al=0}. eex$$ 则对 $forall alin V$, $$ex al=frac{1}{m}sum_{i=1}^m scrA^{i-1}al +sex{al-frac{1}{m}sum_{i=1}^m scrA^{i-1}al} equiv eta+gamma, eex$$ 其中 $$eex ea scrA(eta)&=frac{1}{m}sum_{i=1}^m scrA^ial\ &=frac{1}{m}(scrAal+cdots+scrA^{m-1}al+al)\ &=eta,\ gamma+scrAgamma+cdots+scrA^{m-1}gamma &=al+scrAal+cdots+scrA^{m-1}al -eta-scrAeta-cdots-scrA^{m-1}eta\ &=al+scrAal+cdots+scrA^{m-1}al-meta\ &=0. eea eeex$$ 于是 $V=W_scrA+U$. 又由 $$ex alin W_scrAcap U a 0=al+scrAal+cdots+scrA^{m-1}al =mal a al=0 eex$$ 知 $V=W_scrAoplus U$. 最后由 $$eex ea alin W_scrA,etain U & a scrAal=alquadsex{al=scrA^{-1}al=scrA^Tal}\ & a sef{al,eta} =sef{scrA^Tal,eta}=cdots=sef{(scrA^T)^{m-1}al,eta}\ &quad =frac{1}{m}sef{al+scrA^Tal+cdots+sex{scrA^{m-1}}^Tal,eta}\ &quad =frac{1}{m}sef{al,(scrE+scrA+cdots+scrA^{m-1})eta}\ &quad =0 eea eeex$$ 知 $W_scrA^perp=U$, 而有结论.
3. 设 $W$ 是欧氏空间 $V$ 的子空间, 定义 $alin V$ 到 $W$ 的距离 $ d (al,W)=|al-al'|$, 其中 $al'$ 为 $al$ 在 $W$ 上的正交投影. 设 $al_1,cdots,al_m$ 为 $W$ 的一组基, 试证: $$ex d (al,W)=sqrt{cfrac{G(al_1,cdots,al_m,al)}{G(al_1,cdots,al_m)}}, eex$$ 其中 $G(al_1,cdots,al_m)$ 为 $al_1,cdots,al_m$ 的 Gram 矩阵.
证明: $$eex ea G(al_1,cdots,al_m,al)&= G(al_1,cdots,al_m,al')+G(G(al_1,cdots,al_m,al-al')\ &=G(al_1,cdots,al_m,al-al')\ &=|al-al'|^2G(al_1,cdots,al_m). eea eeex$$
4. 设 $A=sex{a{ccc} 1&0&0\ -1&0&1\ 0&1&0 ea}$. 试求 $A^{100}$.
证明: 易知 $A$ 的多项式为 $f(lm)=|lm E-A|=(lm+1)(lm-1)^2$. 由 Hamilton-Caylay 定理, $f(A)=0$. 对 $g(lm)=lm^{100}$, 由辗转相除理论, $$ex g(lm)=q(lm)f(lm)+alm^2+blm+c. eex$$ 将 $lm=-1$, $lm=1$ 代入上式, 将 $lm=1$ 代入上式求导后的等式, 得 $$ex a-b+c=1,quad a+b+c=1,quad2a+b=100. eex$$ 于是 $$eex ea &quad a=50,quad b=0,quad c=-49\ & a A^{100}=g(A)=50A^2-49E =sex{a{ccc} 1&0&0\ -50&1&0\ -50&0&1 ea}. eea eeex$$
5. 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $lm_1,cdots,lm_n$, 试证: $A^*$ ($A$ 的伴随矩阵) 的特征值为 $$ex prod_{j=1,j eq i}^nlm_j,quad i=1,2,dots,n. eex$$
解答: 由扰动法, 不妨设 $A$ 可逆, 而 $$eex ea 0&=|lm_i E-A|cdot |A^*|\ &=|lm_iA^*-|A|E|\ &=|lm_iA^*-lm_1cdotslm_n E|\ &=(-lm_i)^n |lm_1cdotslm_{i-1}lm_{i+1}cdotslm_n E-A^*|. eea eeex$$
6. 试求解下列非线性方程组 $$eex ea x^3+3x^2-13x-15&=0,\ x^4-5x^3-x^2+17x+12&=0,\ x^5-2x^4-3x^3+x^2-2x-3&=0. eea eeex$$
解答: 易知对多项式 $f(x),g(x)$ 而言, $$ex f(x)=0,quad g(x)=0lra (f(x),g(x))=0. eex$$ 往求解题目. 我们仅须求出题中三个多项式的的最大公因式后再求其根. 直接辗转相除即知题中三个多项式的的最大公因式为 $x^2-2x+3$. 于是 $x=-1$ 或 $x=3$.
7. 求所有满足 $A^2=0$ 的非零三阶方阵 $A$.
解答: 由 $A^2=0$ 知 $A$ 的特征值为 $0$, 而 $A$ 的 Jordan 标准型为 $$ex sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}mbox{ 或 }sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&0 ea}. eex$$ 注意到 $$ex sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}=sex{a{ccc} 0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}, eex$$ $$ex sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&0 ea}sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&0 ea} eq sex{a{ccc} 0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea} eex$$ 及 $A^2=0$ 知 $A$ 的 Jordan 标准型只能是 $$ex sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}. eex$$ 于是 $$ex A=T^{-1}sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}T,quad (Tmbox{ 可逆}). eex$$ 又 $T^{-1}=T^*/|T|$, 我们有 (这是等价的) $$ex A=tT^*sex{a{ccc} 0&1&0\ 0&0&0\ 0&0&0 ea}T,quad (t eq 0,quad Tmbox{ 可逆}). eex$$ 记 $T=(t_{ij})$, 则 $$ex A=t sex{a{ccc} t_{21} (-t_{23} t_{32}+t_{22} t_{33})&t_{22} (-t_{23} t_{32}+t_{22} t_{33})&t_{23} (-t_{23} t_{32}+t_{22} t_{33})\t_{21} (t_{23} t_{31}-t_{21} t_{33})&t_{22} (t_{23} t_{31}-t_{21} t_{33})&t_{23} (t_{23} t_{31}-t_{21} t_{33})\t_{21} (-t_{22} t_{31}+t_{21} t_{32})&t_{22} (-t_{22} t_{31}+t_{21} t_{32})&t_{23} (-t_{22} t_{31}+t_{21} t_{32}) ea}. eex$$ 于是 $$ex A=t sex{a{ccc} a (-c e+b f)&b (-c e+b f)&c (-c e+b f)\a (c d-a f)&b (c d-a f)&c (c d-a f)\a (-b d+a e)&b (-b d+a e)&c (-b d+a e) ea},quadsex{t eq 0}. eex$$
8. 设 $f(x)$ 是 $bR$ 上首一多项式且无实根. 求证: 存在 $g(x)$, $h(x)$, 使得 $$ex f(x)=g^2(x)+h^2(x), eex$$ 且 $deg g(x)>deg h(x)$.
证明: $f(x)$ 有形式 $$ex f(x)=prod_{i=1}^n (x^2+a_ix+b_i),quad a_i^2-4b_i<0. eex$$ 对 $n$ 作数学归纳法. 当 $n=1$ 时, $$eex ea f(x)&=x^2+a_1x+b_1\ &=sex{x+cfrac{a_1}{2}}^2+b_1-cfrac{a_1^2}{4}\ &=sex{x+cfrac{a_1}{2}}^2+sex{sqrt{b_1-cfrac{a_1^2}{4}}}^2\ &equiv psi^2(x)+phi^2(x). eea eeex$$ 假设结论对 $n$ 时成立, 则为 $n+1$ 时, $$eex ea f(x)&=(x^2+a_1x+b_1)prod_{i=2}^{n+1}(x^2+a_ix+b_i)\ &=(psi^2(x)+phi^2(x))(g^2(x)+h^2(x))quadsex{mbox{利用归纳假设}}\ &=sez{psi(x)g(x)+phi(x)h(x)}^2+ sez{psi(x)h(x)-phi(x)g(x)}^2. eea eeex$$
9. 设 $n$ 级实对称矩阵 $A$ 的所有一级主子式之和与所有二级主子式之和均为零. 证明 $A$ 是零矩阵.
证明: 由 $A$ 实对称知 $A$ 的特征值 $lm_i$ 均是实数. 而 $$ex f(lm)equiv |lm E-A|=prod_{i=1}^n(lm-lm_i). eex$$ 据题意, $f(lm)$ 中 $lm^{n-1}$, $lm^{n-2}$ 的系数分别为 $A$ 的所有一阶、二阶主子式之和, 是等于零的. 故 $$eex ea lm_1+cdots+lm_n&=0,\ lm_1lm_2+cdots+lm_1lm_n+cdots+lm_{n-1}lm_n&=0,\ (lm_1+cdots+lm_n)^2&=(lm_1+cdots+lm_n)^2\ &quad-2(lm_1lm_2+cdots+lm_1lm_n+cdots+lm_{n-1}lm_n)\ &=0,\ lm_1=cdots=lm_n&=0,\ A&=0. eea eeex$$
10. 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶正定矩阵, 证明:
(1) 若 $AB=BA$, 则 $AB$ 也是正定矩阵;
(2) 若 $A-B$ 正定, 则 $B^{-1}-A^{-1}$ 也正定.
证明: (1) 显然, $AB$ 对称. 由 $A,B$ 正定知存在可逆阵 $P,Q$ 使得 $A=P^TP,quad B=Q^TQ.$ 而由 $$ex Q(AB)Q^{-1} =QP^TPQ^T=(PQ^T)^T(PQ^T) eex$$ 知 $AB$ 相似于正定矩阵, 具有正的特征值, 是正定的.
(2) $$eex ea &quad A-Bmbox{ 正定}\ & a P^TP-Q^TQmbox{ 正定}\ & a Q^{-T}P^TPQ^{-1}-Embox{ 正定}\ & a PQ^{-1}Q^{-T}P^T-Embox{ 正定}\ &quadsex{Y(XY)Y^{-1}=YX a XY,YXmbox{ 相似, 而有相同的特征值}}\ & a Q^{-1}Q^{-T}-P^{-1}P^{-T}mbox{ 正定}\ & a B^{-1}-A^{-1}mbox{ 正定}. eea eeex$$