[再寄小读者之数学篇](2014-12-24 乘积型不等式)
[再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $left(1+frac{1}{x} ight)^x>frac{2ex}{2x+1},forall x>0.$)
试证: $$ex left(1+frac{1}{x} ight)^x>frac{2ex}{2x+1},forall x>0. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第7题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第6题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第4题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)
设 $A,Bin bR^{n imes n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 正定矩阵乘积的特征值)
设 $A,B$ 都是实正定矩阵, 则 $A^{-1}B$ 的特征值都是正实数.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 分块矩阵求逆)
如果 $A$ 可逆或 $D$ 可逆, 则 $$ex sev{a{cc} A&B\ C&D ea}=|A|cdot |D-CA^{-1}B| =|D|cdot |A-BD^{-1}C|. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 幂等矩阵的一个充分条件)
若 $Ain bR^{m imes n}$ 列满秩, 则 $A(A^TA)^{-1}A^T$ 是幂等矩阵, 其特征值为 $1$ 或 $0$, 且存在正交阵 $Q$, 使得 $$ex Q^T[A(A^TA)^{-1}A^T]Q=sex{E_natop 0}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 积分中值定理)
积分第一中值定理. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $$ex exists xiin (a,b),st int_a^b f(x) d x=f(xi)(b-a). eex$$ 推广的积分第一中值定理. 若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上连续, 且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =f(xi)int_a^b g(x) d x. eex$$ 积分第二中值定理. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.
(1). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上减, 且 $g(x)geq 0$, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(a)int_a^xi f(x) d x. eex$$ (2). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上增, 且 $g(x)geq 0$, 则 $$ex exists etain [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(b)int_eta^b f(x) d x. eex$$ (3). 若函数 $g$ 为单调函数, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(a)int_a^xi f(x) d x +g(b)int_xi^b f(x) d x. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)
设幂级数 $dps{g(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $dps{sum_{n=0}^infty a_n=s}$ 收敛. 则 $$ex lim_{x o 1^-} g(x)=s. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-21 关于积和式的一个不等式)
在 Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices $A,B$ we have $$ex |per (AB)|^2leq per (AA^*)cdot per (B^*B). eex$$ (The corresponding relation for determinants is an easy equality.)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-20 计算二重积分)
(from X.L. Zhen) 计算二重积分 $$ex iint_{bR^2}e^{-(x^2+xy+y^2)} d x d y. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y$)
$$ex sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y. eex$$ Ref. [Proof Without Words: Sine Sum Identity, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 等差数列的部分和)
设 $sed{a_k}_{k=1}^n$ 为等差数列, 则 $$ex a_1+cdots+a_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}. eex$$ Ref. [Proof Without Words: Partial Sums of an Arithmetic Sequence, The College Mathematics Journal]. A visual proof that a partial sum of an arithmetic sequence equals the number of the terms times the average of the first and last term.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $sin x/x$ 在 $(0,pi/2)$ 上递增)
$$ex frac{sin x}{x} earrow. eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $sin x/x$ on $(0,pi/2)$, The College Mathematics Journal]
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $ an x/x$ 在 $(0,pi/2)$ 上递增)
$$ex frac{ an x}{x} earrow. eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $ an x/x$ on $(0,pi/2)$, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)
$$ex sqrt{x^2+x+1}+ sqrt{y^2+y+1} +sqrt{x^2-x+1}+ sqrt{y^2-y+1}geq 2(x+y). eex$$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)
For $ngeq 1$ to be an integer, $$ex (2n)^2-(2n+1)^2+cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+cdots+(6n)^2, eex$$ $$ex (2n+1)^2-(2n+2)^2+cdots+(4n-1)^2 =-(4n)^2+(4n+1)^2-cdots+(6n-1)^2. eex$$ Ref. [Proof Without Words: Alternating Sums, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 有限几何)
每个有限几何的线的条数 $geq$ 点的个数. 若一个有限几何的线数 $=$ 点数, 则任意两条线都相交.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)
多项式 $$ex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_0 eex$$ 的根的估计.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 代数)
Hilbert 零点定理: 设 $bF$ 是一个代数闭域, $L$ 是 $bF[x_1,cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$ex exists (a_1,cdots,a_n)inbF^n a f(a_1,cdots,a_n)=0,quadforall fin L. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 数论)
1. 代数数: $alinbC$ 称为代数数, 如果它是某个系数为有理数的非零多项式的根.
2. 代数数全体构成一个域. (利用伙伴矩阵, 张量积很容易证明)
3. 代数整数: $alinbC$ 称为代数整数, 如果它是某个首一整系数多项式的根.
4. 代数整数的全体构成一个环.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 友谊定理)
友谊定理: 如果在一群人中任何两个人都恰好有一个共同的朋友, 那么有一个人是每个人的朋友.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 正整数的平方根要么为无理数, 要么为整数)
$$ex forall min bZ^+ a sqrt{m}in (bRs bQ)cup bZ^+. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 Herglotz' trick)
设 $f$ 是 $bR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$eelabel{141102_f} f(x)+fsex{x+frac{1}{2}}=2f(x),quadforall x. eee$$ 试证: $f(x)=0$, $forall x$.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 平方和公式在正定矩阵上的推广)
$$ex A,B>0 a (A+B)^2leq 2(A^2+B^2). eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-31 利用夹逼原理求极限)
设 $a,b,c>0$, 求极限 $$ex vlm{x}sex{frac{a^x+b^x+c^x}{3}}^x. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)
对任两酉阵 $U,V$, 有 $$ex sen{A}_F=sen{UAV}_F. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 两曲面围成的区域的体积与表面积)
(from M.J. Shu) 设立体 $vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=sqrt{4-x^2-y^2}$ 围成, 求 $vSa$ 的体积与表面积.
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?)
无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?
[再寄小读者之数学篇](2014-10-18 利用 Lagrange 中值定理求极限)
试求 $$ex vlm{n}n^2sex{x^frac{1}{n}-x^frac{1}{n+1}},quad x>0. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-14 二次型与曲面分类)
(from M.J. Shu) 已知二次型 $$ex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$ex f(x,y,z)=4 eex$$ 表示什么曲面?
[再寄小读者之数学篇](2014-10-09 家里蹲大学数学杂志第310期第7题第1小题修正)
当 $x>0$ 时, 由 $$eex ea int_0^infty e^{-xsex{t+frac{1}{t}}} d t &leq int_0^1 e^{-frac{x}{t}} d t +int_1^infty e^{-xt} d t\ &=int_1^infty frac{1}{se^{xs}} d s +int_1^infty e^{-xt} d t eea eeex$$ 即知积分收敛.
[再寄小读者之数学篇](2014-10-08 乘积型 Sobolev 不等式)
$$ex ngeq 2, 1leq p<n a sen{f}_{L^frac{np}{n-p}(bR^n)} leq Cprod_{k=1}^n sen{p_k f}_{L^p(bR^n)}^frac{1}{n}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-08 矩阵对称或反对称的一个充分条件)
设$Ain M_{n}(mathbb F)$,且对任意的$alpha,etainmathbb F^n$ 有$$ alpha^TAeta=0Leftrightarroweta^TAalpha=0 $$ 且$A$不是对称矩阵,证明$A^T=-A$.
[再寄小读者之数学篇](2014-09-22 distributions and square integrable functions)
Suppose that $fin L^2$, $gin scrD'$, if $$ex f=g,mbox{ in }scrD', eex$$ then $f=gin L^2$. In fact, $scrDsubset L^2 a L^2subsetscrD'$. Thus $h=f-g=0in scrD'$, the zero element is the same in $L^2$ and $scrD'$, and hence $h=f-g=0in L^2$, $g=f-(f-g)in L^2$.
[再寄小读者之数学篇](2014-09-22 北京师范大学考研试题---渐近估计)
[裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法 (第 2 版), 北京: 高等教育出版社, 2006 年] (Page 436, T 4.5.14) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,+infty)$ 上可积, 且当 $t o+infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $lm<0$, 证明: 当 $t o+infty$ 时, $$ex int_t^{+infty} p( au)e^{lm au} d au =o(t^{N+1})e^{lm t}. eex$$
$$eex ea &geq frac{2}{sqrt{a}}sez{frac{(a-I)^2}{4}+aI}\ &=frac{2}{sqrt{a}}frac{(a+I)^2}{4}\ &geq frac{1}{2}a^frac{3}{2}. eea eeex$$ 不过最后一步我不会. $I$ 不知道正负啊.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-27 $H^{-1}$ 中的有界集与弱收敛极限)
设 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的对偶空间, 定义域为 $[0,1]$. 试证:
(1) $sed{hsin (2pi hx); h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界;
(2) 试求 $hsin (2pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱极限.
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f'(xi)(xi-a)=f(xi)-f(a). eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)
试计算矩阵 $A=(sin(al_i+al_j))_{n imes n}$ ($ngeq2$) 的行列式.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 高阶导数的一个表达式)
设 $fin C^{n+1}(bR)$, 试证: 对 $forall ainbR$, $$ex frac{ d^n}{ d x^n}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)
试证: $$ex (1+a)ln (1+a)+(1+b)ln (1+b)<(1+a+b)ln (1+a+b),quad forall a,b>0. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)
设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $xin (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$ex f(a+b)<f(a)+f(b). eex$$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $cin (a,b)$, 存在 $xiin (a,b)$ 使得 $$ex frac{f''(xi)}{2}=frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 两个条件给出二阶导中值)
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $forall xin [a,b]$, 存在 $xiin (a,b)$, 使得 $$ex f(x)=frac{f''(xi)}{2}(x-a)(x-b). eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 任意阶导数在零处为零的一个充分条件)
设 $f(x)$ 在 $bR$ 上任意阶可导, 且 $$ex forall ninbZ^+, fsex{frac{1}{n}}=0. eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)
设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$ex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). eex$$ 设 $scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$ex scrA(f(x))=r(x). eex$$ 试证: $scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 不可约多项式与重根)
设 $mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),cdots,p_r(x)$ 是数域 $mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首相系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)cdots p_r(x)$ 在数域 $mathbb{P}$ 上无重根.