设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$ex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). eex$$ 设 $scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$ex scrA(f(x))=r(x). eex$$ 试证: $scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.
证明: 若 $$ex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x),quad g(x)=q_1(x)(x^2-1)+r_1(x), eex$$ 则 $$eex ea kf(x)&=kq(x)(x^2-1)+kr(x),\ f(x)+g(x)&[q(x)+q_1(x)](x^2-1)+r(x)+r_1(x). eea eeex$$ 由辗转相除的唯一性即知 $$eex ea scrA(kf(x))&=kr(x)=kscrA(f(x)),\ scrA(f(x)+g(x))&=r(x)+r_1(x)=scrA(f(x))+scrA(g(x)). eea eeex$$ 故 $scrA$ 为线性变换. 往求 $scrA$ 在基 $1,x,x^2,x^3,x^4$ 下的矩阵. 设 $$ex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=q(x)(x^2-1)+px+q, eex$$ 其中 $r(x)=px+q$ 为余式, 则将 $x=1$、$x=-1$ 分别代入有 $$eex ea a+b+c+d+e&=p+q,\ a-b+c-d+e&=-p+q. eea eeex$$ 于是 $$ex p=b+d,quad q=a+c+e,quad r(x)=(b+d)x+a+c+e. eex$$ 而 $$eex ea scrA(1,x,x^2,x^3,x^4)=(1,x,x^2,x^3,x^4)sex{a{ccccc} 1&0&1&0&1\ 0&1&0&1&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&0 ea}. eea eeex$$