设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+cdots+a_n$, 级数 $dps{vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $dps{vsm{n}cfrac{a_n}{S_n}}$ 发散.
证明: 对任意固定的 $n$, 由 $S_{n+p} o infty (p oinfty)$ 知 $$ex exists p,st cfrac{S_n}{S_{n+p}}<cfrac{1}{2}. eex$$ 而 $$ex sum_{k=n+1}^{n+p}cfrac{a_k}{S_k}geq cfrac{S_{n+p}-S_n}{S_{n+p}} =1-cfrac{S_n}{S_{n+p}}geq cfrac{1}{2}. eex$$