设 $fin C[0,+infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$ex vlm{x}sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t}. eex$$ 证明; $f(+infty)=0$.
证明: 记 $$ex F(x)=e^{ax}int_0^x f(t) d t, eex$$ 则 $$ex F'(x)=e^{ax}sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t}, eex$$ $$ex vlm{x}cfrac{F'(x)}{ae^{ax}}=cfrac{1}{a}vlm{x} sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t} eex$$ 存在. 由 L'Hospital 法则, $$ex vlm{x}int_0^x f(t) d t =vlm{x}cfrac{F(x)}{e^{ax}} =vlm{x}cfrac{F'(x)}{ae^{ax}} eex$$ 存在. 故 $$ex vlm{x}f(x)=vlm{x}sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t} -avlm{x}int_0^x f(t) d t eex$$ 存在. 由 $$ex vlm{x}int_0^x f(t) d t eex$$ 存在即知 $f(+infty)=0$ (否则, $f(+infty)=A eq 0$. 不妨设 $A>0$, 而 $$ex exists X>0,st xgeq X a f(x)geq cfrac{A}{2}, eex$$ $$eex ea int_0^x f(t) d t &=int_0^Xf(t) d t+int_X^x f(t) d tquad(xgeq X)\ &geq int_0^Xf(t) d t+cfrac{A}{2} (x-X)\ & o inftyquad (x oinfty). eea eeex$$ 这是一个矛盾).