计算以下渐近等式 $$ex int_0^1 cfrac{x^{n-1}}{1+x} d x=cfrac{a}{n}+cfrac{b}{n^2}+osex{cfrac{1}{n^2}}quad(n oinfty) eex$$ 中的待定常数 $a,b$.
解答: $$eex ea a&=vlm{n}nint_0^1 cfrac{x^{n-1}}{1+x} d x\ &=vlm{n}int_0^1 nx^{n-1}sex{cfrac{1}{1+x}-cfrac{1}{2}} d x+cfrac{1}{2}\ &=vlm{n}int_0^{1-delta} nx^{n-1}sex{cfrac{1}{1+x}-cfrac{1}{2}} d x+int_{1-delta}^1 nx^{n-1}sex{cfrac{1}{1+x}-cfrac{1}{2}} d x+cfrac{1}{2}\ &=cfrac{1}{2}, eea eeex$$ $$eex ea b&=vlm{n}sez{n^2int_0^1 cfrac{x^{n-1}}{1+x} d x-cfrac{n}{2}}\ &=vlm{n}nint_0^1 nx^{n-1}sex{cfrac{1}{1+x}-cfrac{1}{2}} d x\ &=vlm{n}nint_0^1 sex{cfrac{1}{1+x}-cfrac{1}{2}} d x^n\ &=vlm{n}nint_0^1 cfrac{x^n}{(1+x)^2} d x\ &=vlm{n}cfrac{n}{n+1}int_0^1 cfrac{(n+1)x^n}{(1+x)^2} d x\ &=cfrac{1}{4}quadsex{mbox{同 }ambox{ 的计算, 利用分段考虑}}. eea eeex$$