设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0in [a,b)$, 而点列 $sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $dps{vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $dps{vlm{n}f(x_n)}$ 存在.
证明: 设 $A=f(x_0+0)$, 则由定义, $$ex forall ve>0, exists delta>0, x_0<x<x_0+delta a |f(x)-A|<ve. eex$$ 对该 $delta>0$, 由 $dps{vlm{n}x_n=x_0}$ 知 $$ex exists N, ngeq N a x_0<x_n<x_0+delta a |f(x_n)-A|<ve. eex$$ 这即说明结论.