1. 函数 $f$ 在 $infty$ 没有定义, 所以 $infty$ 必为 $f$ 的奇点. 若 $$ex exists r>0, st. fmbox{ 在 }|z|>rmbox{ 内解析}, eex$$ 则称 $infty$ 为 $f$ 的孤立奇点.
(1) 例: $f(z)=z$, $f(z)=cfrac{1}{e^z-1}$.
(2) 作变换 $zeta=cfrac{1}{z}$, 并记 $$ex phi(zeta)=fsex{cfrac{1}{zeta}}=f(z), eex$$ 则 $0$ 为 $phi$ 的孤立奇点: $$ex phi'(zeta)=f'sex{cfrac{1}{zeta}}cdot cfrac{-1}{zeta^2},quad zeta eq 0. eex$$
(3) $$eex a{lll} mbox{ 若:}&0&mbox{ 为 }phimbox{ 的可去奇点、}mmbox{ 阶极点、本质奇点},\ mbox{ 则称:}&infty&mbox{ 为 }phimbox{ 的可去奇点、}mmbox{ 阶极点、本质奇点}. ea eeex$$
2. 三类奇点的刻画
(1) 设 $infty$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则 $$eex a{rllllll} &&mbox{主要部分}&&&&mbox{正则部分}\ f(z)=fsex{cfrac{1}{zeta}} =phi(zeta)&=&dps{sum_{n=-infty}^{-1}c_nzeta^n}&+& underline{c_0}&+& underline{dps{sum_{n=1infty}c_nzeta^n}},quad |zeta|<cfrac{1}{r},\ f(z)&=&underline{dps{sum_{n=1}^infty c_{-n}z^n}}&+&underline{c_0} &+&dps{sum_{n=-infty}^{-1} c_{-n}z^n},quad |z|>r. ea eeex$$
(2) 可去奇点 $$ex a{ccccc} fmbox{ 在 }inftymbox{ 的一个去心邻域内有界}&lra&inftymbox{ 为 }fmbox{ 的可去奇点}&lra&fmbox{ 的主要部分为 }0\ &&Updownarrow&&\ &&lim_{z o infty}f(z)mbox{ 存在}&& ea eex$$ 例: $f(z)=cfrac{1}{z}$, $f(z)=cfrac{1}{(z-1)(z-2)}$.
(3) 极点 $$ex a{ccccc} &&lim_{z o infty}f(z)=infty &&\ &&Updownarrow&&\ g(z)=cfrac{1}{f(z)}mbox{ 以 }infty mbox{ 为 }mmbox{ 阶零点} &lra& fmbox{ 以 }ambox{ 为 }mmbox{ 阶极点}&lra& fmbox{ 的主要部分为 }0\ &&Updownarrow&&\ &&f(z)=z^mmu(z), mu(infty) eq 0&& ea eex$$ 例: $f(z)=cfrac{z^2}{z-1}$.
(4) 本质奇点 $$ex inftymbox{ 为 }fmbox{ 的本质奇点}lra lim_{z o infty}f(z)mbox{ 不存在}. eex$$ 例: $f(z)=e^z$.
3. 例
(1) 考察 $f(z)=cfrac{ an(z-1)}{z-1}$ 的奇点及其类型.
(2) 考察 $f(z)=cfrac{1}{sin z+cos z}$ 的奇点及其类型.
(3) 考察 $f(z)=coscfrac{1}{z+i}$ 的奇点及其类型.
作业: P 213-214 T 4 (1) (7) (8) .