(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${f A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$ex ank g({f A})=q,quad ank h({f A})=p. eex$$
证明: 设 $$ex g(x)=prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i},quad h(x)=bprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j}, eex$$ 则 $$ex sum_{i=1}^s m_i=p,quad sum_{j=1}^tn_j=q. eex$$ 由 $(g,h)=1$ 知 $lm_i eq mu_j$. 又 $$ex f(x)=g(x)h(x)=abcdot prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i}cdotprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j} eex$$ 为 ${f A}$ 的特征多项式, 而有直和分解 $$ex V=oplus_{i=1}^s V_ioplus oplus_{j=1}^t W_j, eex$$ 其中 $$ex V_i=sed{{f x}in V;({f A}-lm_i{f E})^{m_i}{f x}={f 0}},quad W_j =sed{{f x}in V;({f A}-mu_j{f E})^{n_j}{f x}={f 0}}, eex$$ 且 $dim V_i=m_i$, $dim W_j=n_j$ (可用 Jordan 标准型直接证明, 自己思考下). 为证题目, 仅须证明 $$ex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h({f A}){f x}={f 0};{f x}in V},quad oplus_{j=1}^t W_j=sed{g({f A}){f x}={f 0};{f x}in V}, eex$$ 即知 $$ex ank h({f A})=sum_{i=1}^s m_i=p,quad ank g({f A})=sum_{j=1}^t n_j=q. eex$$ 不失一般性, 仅需证明 $$ex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h({f A}){f x};{f x}in V}equiv U eex$$ 如下: $$eex ea {f x}in V_i& a ({f A}-lm_i{f E})^{m_i}{f x}={f 0}\ & a g({f A}){f x}={f 0}\ & a {f x}=u({f A})g({f A}){f x}+v({f A})h({f A}){f x}=v({f A})h({f A}){f x} =h({f A})v({f A}){f x}in U\ &quadsex{exists u,v,st uf+vg=1};\ {f x}in U& a {f x}=h({f A}){f y}\ & a {f x}=h({f A})({f v}_1+cdots+{f v}_s+{f w}_1+cdots+{f w}_s)\ &quadquad\,=h({f A}){f v}_1+cdots+h({f A}){f v}_sin oplus_{i=1}^s V_iquadsex{{f v}_iin V_i a h({f A}){f v}_iin V_i}. eea eeex$$