(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学2014年高等代数考研试题]) 设 $n$ 阶行列式 $sev{a{cccc} a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn} ea}=1,$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji}, i,j=1,2,cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $sev{a{cccc} a_{11}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}+x&cdots&a_{nn}+x ea}.$
解答: 这是南开大学 2004 年高等代数第一题, 今年又考了. 设 $$ex {f A}=(a_{ij}),quad {f e}=(underbrace{1,cdots,1}_{nmbox{ 个}}),quad {f B}=(a_{ij}+x), eex$$ 则 $$eex ea |B|&=sev{a{cccc} 1&x&cdots&x\ 0&a_{11}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&a_{n1}+x&cdots&a_{nn}+x ea} =sev{a{cccc} 1&x&cdots&x\ -1&a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&vdots&ddots&vdots\ -1&a_{n1}&cdots&a_{nn} ea}=sev{a{cc} 1&x{f e}^T\ -{f e}&{f A} ea}. eea eeex$$ 又由 $$ex sex{a{cc} 1&-x{f e}^T{f A}^{-1}\ {f 0}&{f E} ea}sex{a{cc} 1&x{f e}^T\ -{f e}&{f A} ea}=sex{a{cc} 1-x{f e}^T {f A}^{-1}{f e}&{f 0}\ -{f e}&{f A} ea} eex$$ 知 $$eex ea |{f B}|&=(1-x{f e}^T{f A}^{-1}{f e})cdot|{f A}|\ &=1-xsum_{i,j} ({f A}^{-1})_{ij}\ &=1, eea eeex$$ 其中最后一步是因为 ${f A}$ 反对称 $ a {f A}^{-1}$ 反对称 (直接写出 $a_{ij}$ 在 ${f A}$ 中的代数余子式 $A_{ij}$ 后与 $A_{ji}$ 比较).