设 $3 imes 3$ 阵 ${f A}$ 的特征值为 $lm_1,lm_2,lm_3$, 证明 $cof {f A}$ 的特征值为 $$ex lm_2lm_3,quad lm_3lm_1,quad lm_1lm_2. eex$$
参考解答见[物理学与PDEs]第5章习题9 伴随矩阵的特征值.
推广: 设 $n imes n$ 阵 ${f A}$ 的特征值为 $lm_1,lm_2,cdots,lm_n$, 证明 $cof {f A}$ 的特征值为 $$exlm_2cdotslm_n,lm_3cdotslm_nlm_1,cdots,lm_1lm_2cdotslm_{n-1}. eex$$
复旦大学谢启鸿老师给的一个解答: 根据复旦高代教材 P233 定理 6.1.2, 任一 $n$ 阶矩阵 $A$ 复相似于上三角阵, 即存在非异阵 $P$, 使得 $$P^{-1}AP=B=egin{bmatrix} lambda_1 & * & cdots & * \ & lambda_2 & cdots & * \ & & ddots & vdots \ & & & lambda_n end{bmatrix}.$$ 注意到伴随阵的性质: $(AB)^*=B^*A^*$ 及 $(P^{-1})^*=(P^*)^{-1}$, 上式两边同取伴随可得: $$P^*A^*(P^*)^{-1}=B^*=egin{bmatrix} prod_{i eq 1}lambda_i & * & cdots & * \ & prod_{i eq 2}lambda_i & cdots & * \ & & ddots & vdots \ & & & prod_{i eq n}lambda_i end{bmatrix}.$$ 因此 $A^*$ 的全体特征值为 $prod_{i eq 1}lambda_i$, $prod_{i eq 1}lambda_i$, $cdots$, $prod_{i eq 1}lambda_i$.