0. 引言
(1) $f$ 在 $|z|<R$ 内解析 $dps{ a f(z)=sum_{n=0}^infty c_nz^n}$ (Taylor 级数).
(2) $f$ 在 $r<|z|<R (0leq r<Rleqinfty)$ 内解析 $dps{ a f(z)=?}$ (Laurent 级数).
1. 双边幂级数
(1) 定义 $$eelabel{15_bs} ea &quad c_0+c_1z+c_2z^2+cdotsquad(n o+infty)\ &quad+cfrac{c_{-1}}{z}+cfrac{c_{-2}}{z^2}+cdotsquad(n o-infty)\ &=sum_{n=-infty}^{+infty} c_nz^n eea eee$$
(2) 收敛域 (不包括边界) - 圆环 $H:r<|z|<R$.
(3) $dps{sum_{n=-infty}^{+infty} c_nz^n}$ 在 $H$ 内绝对、内闭一致收敛; 而和函数 $f(z)$ 在 $H$ 内解析, 可逐项求导, 逐项积分.
2. 解析函数的 Laurent 展式
(1) Laurent 定理: 设 $f$ 在 $H: r<|z-a|<R$ ($0leq r<Rleqinfty$) 内解析, 则 $$eelabel{15_Lau} f(z)=sum_{n=-infty}^{+infty} c_n(z-a)^n, eee$$ 其中 $$eelabel{15_Lau_Coef} c_n=cfrac{1}{2pi i}int_{|zeta-a|= ho}cfrac{f(zeta)}{(zeta-a)^{n+1}} d zetaquad(ninbZ, r< ho<R). eee$$
a. eqref{15_Lau} (右端) 称为 $f$ 在 $a$ 处的 Laurent 展式 (Laurent 级数), eqref{15_Lau_Coef} 称为其 Laurent 系数.
b. 证明: $$eex ea f(z)&=cfrac{1}{2pi i}int_{vGa_2}cfrac{f(zeta)}{zeta-z} d zeta -cfrac{1}{2pi i}int_{vGa_1}cfrac{f(zeta)}{zeta-z} d zeta\ &quadsex{vGa_i: |zeta-a|= ho_i, r< ho_1<|z-a|< ho_2<R}\ &equiv I_1-I_2;\ I_1&=cdotscdots,\ I_2&=cdotscdots. eea eeex$$
c. 例: 分别在 (i) $|z|<1$, (ii) $1<|z|<2$, (iii) $|z|>2$; (iv) $0<|z-1|<1$, (v) $1<|z-1|<infty$; (vi) $0<|z-2|<1$, (vii) $1<|z-2|<infty$ 内求 $f(z)=cfrac{1}{(z-1)(z-2)^2}$ 的 Laurent 级数.
3. 解析函数的孤立奇点
(1) 定义: 设 $f$ 在 $a$ 处不可微, 但在 $a$ 的一个去心邻域内可微, 则称 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点.
(2) $f$ 在孤立奇点的去心邻域内可展成 Laurent 级数.
(3) 例: $dps{cfrac{sin z}{z}, e^z+e^frac{1}{z}, sincfrac{z}{z-1}}$.
作业: P 213 T 1 (1) .