0. 引言
(1) Cauchy 积分定理: 设 $D$ 为 $(n+1)$ 连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析且连续到边界 $C$, 则 $dps{int_C f(zeta) d zeta=0}$.
(2) 若 $f$ 在 $D$ 内有奇点, 怎么办? 挖掉它! $$ex int_C cfrac{1}{(zeta-z)^n} d zeta =sedd{a{ll} 2pi i,&n=1\ 0&1 eq ninbZ ea}quadsex{zin I(C)}. eex$$
1. Cauchy 积分公式: 假设如 Cauchy 积分定理, 则 $$ex int_Ccfrac{f(zeta)}{zeta-z} d zeta=sedd{a{ll} 2pi if(z),&zin D\ 0,&z otin D ea}. eex$$ 证明: 当 $z otin D$ 时, 由 Cauchy 积分定理即知. 当 $zin D$ 时, 挖掉奇点得 $$eex ea int_Ccfrac{f(zeta)}{zeta-z} d zeta &=lim_{ ho o 0^+}int_{|zeta-z|= ho} cfrac{f(zeta)}{zeta-z} d zeta\ &=lim_{ ho o 0^+}int_0^{2pi} cfrac{f(z+ ho e^{i t})}{ ho e^{i t}}cdot ho e^{i t}i d tquad(zeta=z+ ho e^{i t})\ &=lim_{ ho o 0^+}iint_0^{2pi}f(z+ ho e^{i t}) d t\ &=2pi if(z). eea eeex$$
(1) 注记:
a. $zeta=z$ 为 $cfrac{f(zeta)}{zeta-z}$ 的唯一奇点.
b. 设 $f$ 沿 $C$ 连续, $z otin C$, 则称 $int_Ccfrac{f(zeta)}{zeta-z} dzeta$ 为 Cauchy 型积分.
(2) 应用---计算周线积分
a. $dps{int_{|zeta|=2}cfrac{zeta}{(9-zeta^2)(zeta+i)} d zeta =int_{|zeta|=2}cfrac{cfrac{zeta}{9-zeta^2}}{zeta+i} d zeta =2pi icfrac{zeta}{9-zeta^2}|_{zeta=-i} =cfrac{pi}{5}}$.
b. $dps{int_{|zeta|=2}cfrac{2zeta^2-zeta+1}{zeta-1} d zeta =2pi i(2zeta^2-zeta+1)|_{zeta=1}=4pi i. }$
c. $$eex ea int_{|zeta|=2}cfrac{sincfrac{pi}{4}zeta}{zeta^2-1} dzeta &=cfrac{1}{2}int_{|zeta|=2}sex{cfrac{sin cfrac{pi}{4}zeta}{zeta-1}- cfrac{sincfrac{pi}{4}zeta}{zeta+1}} d zeta\ &=cfrac{1}{2}cdot 2pi isex{sincfrac{pi}{4}zeta|_{zeta=1}-sincfrac{pi}{4}zeta|_{zeta=-1}}\ &=sqrt{2}pi i. eea eeex$$
(3) 推论
a. 解析函数的平均值定理 设 $f$ 在 $|zeta-z_0|<R$ 内解析, 在 $|zeta-z_0|=R$ 上连续, 则 $$ex f(z_0)=cfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}f(z_0+Re^{i t}) d t. eex$$
b. 假设如 Cauchy 积分公式, 则 $$ex int_C cfrac{f(zeta)}{(zeta-z)^{n+1}} d zeta =cfrac{2pi i}{n!}f^{(n)}(z),quad zin D. eex$$
c. 应用1---计算周线积分 $$ex int_{|zeta-i|=1}cfrac{cos zeta}{(zeta-i)^3} d zeta =cfrac{2pi i}{2!}(cos zeta)''|_{zeta=i} =-pi icos i =-pi cfrac{e^{-1}+e}{2}i; eex$$ $$ex int_{|zeta|=2}cfrac{2zeta^2-zeta+1}{(zeta-1)^2} d zeta =cfrac{2pi i}{1!}(2zeta^2-zeta+1)'|_{zeta=1} =6pi i. eex$$
d. 应用2---解析函数的两个等价定义 $$ex serd{a{rr} u,vmbox{ 可微}\ C.Rmbox{ 方程} ea}lra f=u+ivmbox{ 解析}lra sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 连续}\ C.Rmbox{ 方程} ea}. eex$$
e. 应用3---Cauchy 不等式 $$ex |f^{(n)}(z)|leqcfrac{n!}{R^n}max_{|zeta-z|=R}|f(zeta)|. eex$$ 证明: $$eex ea |f^{(n)}(z)| &=sev{cfrac{n!}{2pi i}int_{|zeta-z|=R}cfrac{f(zeta)}{(zeta-z)^{n+1}} d zeta}\ &leq cfrac{n!}{2pi i} cdot cfrac{1}{R^{n+1}}cdot max_{|zeta-z|=R}|f(zeta)|cdot 2pi R\ &leqcfrac{n!}{R^n}max_{|zeta-z|=R}|f(zeta)|. eea eeex$$
f. 应用4---Liouville 定理: 有界整函数 (在 $bC$ 上解析的复变函数) 必为常数.
证明: $$ex |f'(z)|leq cfrac{M}{R} o 0quad(R o infty). eex$$
g. 应用5---代数学基本定理: 多项式 $p(z)=a_nz^n+cdots+a_0 (a_n eq 0)$ 在 $bC$ 上至少有一个根.
证明: 反证法. 若 $p(z)$ 无根, 则 $f(z)=cfrac{1}{p(z)}$ 在 $bC$ 上解析. 由 $$ex lim_{z oinfty}f(z)=lim_{z oinfty}cfrac{1}{z^nsex{a_n+cfrac{a_{n-1}}{z}+cdots+cfrac{a_0}{z^n}}}=0 eex$$ 知 $f$ 有界. 由 Liouville 定理即知 $f(z)$ 为常数. 这是一个矛盾. 故有结论.
2. Cauchy 积分定理的逆定理---Morera定理: 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内连续, 若对 $D$ 内任一周线 $C$, $dps{int_C f(z) d z=0}$, 则 $f$ 在 $D$ 内解析.
证明: 固定 $z_0in D$, 定义 $$ex F(z)=int_{z_0}^zf(zeta) d zetaquad(zin D). eex$$ 则 $F$ 可导且 $F'=f$. 故 $F$ 解析, $f$ 也解析.
(1) 解析函数的三个等价定义: $$ex a{rrcll} serd{a{rr} u,vmbox{ 可微}\ C.Rmbox{ 方程} ea}&lra& f=u+ivmbox{ 解析}&lra& sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 连续}\ C.Rmbox{ 方程} ea}\ &&Updownarrow&&\ &&dps{forallmbox{ 周线 }C, int_Cf(zeta) d zeta=0}&& ea eex$$
作业: P 140 T 10 (1) (2) .