0. 引言
(1) $dps{int_{|z-a|= ho}frac{1}{z-a} d z=2pi i eq 0}$: 有奇点 (在 $|z|>0$: 二连通区域内解析), 周线积分 $ eq 0$;
(2) $dps{int_{0 o 1+i}Re z d z=frac{1+i}{2}}$, $dps{int_{0 o 1}+int_{1+1+i}Re z d z=frac{1}{2}+i}$: 不解析, 积分与路径有关, 周线积分 $ eq 0$.
1. Cauchy 积分定理 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析, $C$ 为 $D$ 内任一周线, 则 $dps{int_C f(z) d z=0}$.
证明 (假设 $f'$ 连续) $$eex ea int_C f(z) d z &=int_C [u+iv]cdot [ d x+i d y]\ &=int_C [u d x-v d y]+iint_C [v d x+u d y]\ &=iint_{I(C)} [-v_x-u_y] d x d y +iint_{I(C)} [u_x-v_y] d x d y\ &=0. eea eeex$$
(1) 推论
a. 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析, $C$ 为 $D$ 内任一闭曲线, 则 $dps{int_Cf(z) d z=0}$. (画图证明)
b. 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析, 则 $f$ 在 $D$ 内的积分与路径无关, 而 $$ex forall z_0, zin D,quadint_{z_0}^z f(zeta) d zeta eex$$ 与所选的从 $z_0$ 到 $z$ 的路径无关. (画图说明)
(2) 推广
a. 设 $C$ 是一条周线, $D=I(C)$, $f$ 在 $ar D$ 上解析, 则 $dps{int_Cf(z) d z=0}$. (画图说明)
b. 设 $C$ 是一条周线, $D=I(C)$, $f$ 在 $D$ 内解析, 在 $ar D$ 上连续 (或称连续到 $C$), 则 $dps{int_Cf(z) d z=0}$.
c. 复周线: 有界 $(n+1)$ 连通区域的边界 $C=C_0+C_1^-+cdots+C_n^-$ (画图说明, 指出方向).
d. 设 $D$ 为 $(n+1)$ 连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析, 在 $ar D$ 上连续, 则 $dps{int_Cf(z) d z=0}$.
(3) 应用
a. 设 $C:|z|=1$, 求 $dps{int_Cfrac{ d z}{z+2}}$ 及 $dps{int_0^pi frac{1+2cos t}{5+4cos t} d t}$ 的值 (用 Cauchy 定理)
b. 设 $sqrt{z}$ 确定在沿负实轴割破了的 $z$ 平面上, 且 $w(1) =-1$. 求 $dps{int_{|z-1|=1}sqrt{z} d z}$ (用 (2) b).
c. 设 $a$ 为周线 $C$ 内一点, 求 $dps{int_Cfrac{ d z}{(z-a)^n} (ninbZ)}$ (用 (2) c).
d. 求 $dps{int_{|z|=2}frac{2z^2-z+1}{z-1} d z}$.
解答: $$eex ea int_{|z|=2}frac{2z^2-z+1}{z-1} d z &=int_{|z|=2}frac{(z-1)^2+3(z-1)+2}{z-1} d z\ &=int_{|z|=2}[(z-1)+3] d z+2int_{|z|=2}frac{1}{z-1} d z\ &=0+2cdot 2pi i\ &=4pi i. eea eeex$$
e. 求 $dps{int_{|z|=1}frac{2z^2-z+1}{(z-1)^2} d z}$ (答案: $6pi i$).
2. 不定积分
(1) 定义: 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析, $z_0in D$, 则 $$ex F(z)=int_{z_0}^z f(zeta) d zeta,quad zin D eex$$ (变上限积分) 称为 $f$ 的一个不定积分 (原函数).
(2) $F(z)$ 在 $D$ 内解析, 且 $F'(z)=f(z)$.
(3) N-L 公式: $$ex int_{z_0}^z f(zeta) d zeta=F(z)-F(z_0). eex$$
作业: P 140 T 6.