作业讲解: P 90-92 T 5 (3) , 8 (1) , 13 (1) , 20 (1) , 22, 23.
0. 一些规定
(1) 今后所指曲线均指光滑或逐段光滑的. 逐段光滑的简单闭曲线称为周线.
(2) 曲线的方向: 开口弧的情形只需指出始点、终点; 周线的情形, 参考 Jordan 曲线的情形.
1. 定义: 分割、求和、取极限. 设有向线段 $C: z=z(t), alleq tleq eta$ (起点 $z(al)$, 终点 $z(eta)$), $f$ 沿 $C$ 有定义, 若以下极限存在: $$ex int_C f(z) d z=lim_{max_{|lap z_i|} o 0}sum_{k=1}^n f(zeta_k)lap z_k, eex$$ 则称其为 $f$ 沿 $C$ 的积分.
(1) $f$: 被积函数; $f(z) d z$: 被积表达式.
(2) $dps{int_{C^-}f(z) d z=-int_C f(z) d z}$.
(3) $f$ 沿 $C$ 可积 $ a f$ 沿 $C$ 有界.
2. 计算
(1) 设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 沿 $C$ 连续, 则 $$ex int_C f(z) d z =int_C [u(x,y)+iv(x,y)]cdot [ d x+i d y] =int_C(u d x-v d y)+i(u d y+v d x). eex$$
(2) 若再设 $C: z=z(t)=x(t)+iy(t)$, $alleq tleq eta$, 则 $$eex ea int_C f(z) d z &=int_al^eta f(z(t))cdot z'(t) d t\ &=int_al^eta [(ux'-vy')+i(uy'+vx')] d t. eea eeex$$
(3) 例: 求 $dps{int_{|z-a|= ho}frac{ d z}{(z-a)^n} (ninbZ)}$.
解答: $$eex ea int_{|z-a|= ho}frac{ d z}{(z-a)^n} &=int_0^{2pi}frac{i ho e^{i t} d t}{ ho^n e^{in t}}quad(z-a= ho e^{i t})\ &=frac{i}{ ho^{n-1}}int_0^{2pi}e^{i(1-n) t} d t\ &=sedd{a{ll} 2pi i,&n=1,\ 0,&1 eq ninbZ ea}. eea eeex$$
3. 性质
(1) 线性性: $dps{int_C [af(z)+bg(z)] d z =aint_C f(z) d z+bint_C g(z) d z}$.
(2) 关于积分曲线的可加性: $dps{C=C_1+C_2 a int_C f(z) d z =int_{C_1}f(z) d z+int_{C_2}f(z) d z}$.
(3) 反方向曲线上的积分: $dps{int_{C^-}f(z) d z=-int_C f(z) d z}$.
(4) 积分估计: $$ex sev{int_C f(z) d z} leq int_C |f(z)|cdot | d z| =int_C |f(z)|cdot d s, eex$$ 其中 $$ex | d z|=sqrt{( d x)^2+( d y)^2}= d s; eex$$ 进一步地有: $$ex |f(z)|leq M, L=ell(C) a sev{int_C f(z) d z}leq Mcdot L. eex$$
(5) 例: 计算 $dps{I(C_i)=int_{C_i}Re z d z}$, 其中 $C_1: 0 o 1+i$, $C_2: 0 o 1 o 1+i$.
解答: $$eex ea I(C_1)&=int_{C_1}Re z d z\ &=int_0^1 t(1+i) d tquad (z=(1+i)t, 0leq tleq 1)\ &=frac{1+i}{2},\ I(C_2)&=int_0^1 tcdot d t+int_0^1 1cdot i d tquad (z=t, 0leq tleq 1; z=1+ti, 0leq tleq 1)\ &=frac{1}{2}+i. eea eeex$$
(6) 例: 设 $C: i o 2+i$, 证明: $dps{sev{int_C frac{ d z}{z^2}}leq 2}$. 证明: $$ex zin C a |z|geq 1, ell(C)=2 a sev{int_C frac{ d z}{z^2}}leq 1cdot 2=2. eex$$