1. 概念
(1) 单值函数、多值函数 $w=f(z)$
a. 例: $w=|z|,ar z, z^2, cfrac{z+1}{z-1} (z eq 1), sqrt[n]{z} (z eq 0, ngeq 2), Arg z (z eq 0).$
b. 不特别声明, 以后均指单值函数.
c. 函数的表示: $$eex ea &quad w=f(z), w=u+iv, z=x+iy=re^{i t}\ & a w=u(x,y)+iv(x,y)\ &quad =P(r, t)+iQ(r, t). eea eeex$$
(2) 映射 (变换)、单射 (入变换)、满射 (满变换)、双射 (双方单值变换、一一变换)---反函数.
(3) 映射的几何性质
a. $w=z^2$ 将 $$eex ea &sed{z; |z|=2, 0leqArg zleqcfrac{pi}{2}},\ &sed{z; Arg z=cfrac{pi}{3}mbox{ 或 }cfrac{4pi}{3}},\ &sed{z=x+iy; x^2-y^2=4},\ &sed{z=x+iy; 2xy=1} eea eeex$$ 映成什么图形?
b. $w=cfrac{1}{z}$ 将 $$eex ea &sed{z=x+iy; x=y},\ &sed{z; (x-1)^2+y^2=1} eea eeex$$ 映成什么图形?
2. 极限与连续性
(1) $$ex lim_{z o z_0}f(z)=w_0lra forall ve>0, exists ho>0, stmbox{ 对 }z=N_ ho(z_0)s sed{z_0}mbox{ 有 }f(z)in N_ve(w_0). eex$$
(2) 性质: 唯一性、四则运算
(3) 与实函数的区别: 实 (左右趋于)、复 (四面八方趋于).
(4) 与实函数的联系: $$eex ea &f(z)=u(x,y)+iv(x,y),quad z=x+iy;quad eta=a+ib,quad z_0=x_0+iy_0,\ &lim_{z o z_0}f(z)=etalra lim_{(x,y) o (x_0,y_0)}u(x,y)=a,quad lim_{(x,y) o (x_0,y_0)}v(x,y)=b. eea eeex$$
(5) $f$ 在 $z_0$ 处连续; $f$ 在 $E$ 上连续.
(6) 性质: 四则运算、复合运算、局部有界性、保号性.
(7) $$eex ea &f(z)=u(x,y)+iv(x,y),quad z=x+iy;\ &f(z)mbox{ 在 }z_0=x_0+iy_0mbox{ 处连续}lra u(x,y),v(x,y)mbox{ 在 }(x_0,y_0)mbox{ 处连续}. eea eeex$$
(8) 例: 设 $f(z)=cfrac{1}{2i}sex{cfrac{z}{ar z}-cfrac{ar z}{z}}, z eq 0$ 在原点处极限是否存在?
(9) 常用基本定理: Bolzano-Weierstrass、闭区间套、Heine-Borel、有界闭集上连续函数的性质 (有界、最大-最小值、一致连续).
作业: P 42 T 11 (1) (3) .