6.0 引言
1数学分析中有积分与微分的互逆运算: $$eex ea fin R[a,b]& a fae mbox{ 连续}\ & afrac{ d }{ d x}int_a^x f(t) d t =f(x),ae\ & a mbox{积分后微分可 }aembox{ 还原};\ f'in R[a,b]& a f(x)=f(a)+int_a^xf'(t) d t\ & ambox{微分后再积分可还原}. eea eeex$$
2本章主要把上述积分与微分的互逆运算推广到 Lebesgue 积分的情形.
6.1 Vitali 定理
1 $V$-覆盖: 设 $Esubset bR$, $scrV=sed{I;|I|>0}$. 若 $$eex ea &quadforall xin E, forall ve>0, exists Iin scrV,st xin I, |I|<ve\ &lra forall xin E, exists I_nin scrV,st xin I_n, mI_n o 0, eea eeex$$ 则称 $scrV$ 是 $E$ 的 $V$-覆盖.
2 Vitali 覆盖定理---可数不交几乎覆盖: $$ex serd{a{ll} Esubset bR: m^*E<+infty\ Vmbox{ 是 } Embox{ 的 }Vmbox{-覆盖} ea} a exists sed{I_k}_{k=1}^inftymbox{ 两两不交},st msex{Es cup_{k=1}^infty I_k}=0. eex$$
3 Vitali 覆盖定理的另一形式---有限不交基本上覆盖: $$ex serd{a{ll} EsubsetbR: m^*E<+infty\ Vmbox{ 是 }Embox{ 的 }Vmbox{-覆盖} ea} a forall ve>0, exists sed{I_k}_{k=1}^n mbox{ 两两不交},st msex{Es cup_{k=1}^n E_k}<ve. eex$$
6.2单调函数的可微性
1 列导数: 设 $f:[a,b] o bR$, $x_0in [a,b]$. 若 $$ex exists 0 eq h_n o 0,st lim_{n oinfty}frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=lambda mbox{ 或 }pm infty, eex$$ 则称 $lambda$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的一个列导数, 记作 $Df(x_0)=lambda$.
(1)当 $f'(x)$ 存在时, $Df(x)=f'(x)$.
(2)$Df(x_0)$ 与 $h_n$ 的选取有关: $$ex D|x|(0)=sedd{a{ll} -1,&h_n<0\ 1,&h_n>0 ea};quad DD(x)=sedd{a{ll} 0,&h_nin bQ\ -infty,&0<h_n otin bQ\ +infty,&0>h_n otin bQ ea},quad xinbQ. eex$$
2外测度在映射下的变化: 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单增, $Esubset [a,b]$, 则 $$eex ea Df(x)leq p (pgeq 0), xin E & a m^*f(E)leq pcdot m^*E;\ Df(x)geq q (qgeq 0), xin E & a m^*f(E)geq qcdot m^*E. eea eeex$$
3 Lebesgue 关于单调函数的定理: $$ex fmbox{ 在 }[a,b] mbox{ 上单增} a sedd{a{ll} fae mbox{ 存在导数} a f'geq 0,ae\ f'mbox{ 在 }[a,b]mbox{ 上 Lebesgue 可积}\ int_a^b f'(x) d xleq f(b)-f(a) ea}. eex$$
6.3有界变差函数 (functions of bounded variation)
1 可求长 (rectifiable) 曲线: 一曲线 $dps{C:sedd{a{ll} x=phi(t)\ y=psi(t) ea}, alphaleq tleq eta}$ 称为可求长的, 如果 $$eex ea &quad L=sup_{T: alpha=t_0<t_1<cdots<t_n=eta} sum_{i=1}^n overline{P(t_{i-1})P(t_i)}<+inftyquadsex{P(t_i)=(phi(t_i),psi(t_i)}\ &lra sup_T sum_{i=1}^n |phi(t_i)-phi_{i-1}|<+infty,quad sup_T sum_{i=1}^n |psi(t_i)-psi_{i-1}|<+infty eea eeex$$
2有界变差函数 (functions of bounded variation): 设 $f:[a,b] obR$, 则 $$ex fin BV[a,b]lra underset{a}{overset{b}{V}}(f) =sup_T sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|<+infty. eex$$
(1) 例: $C$ 可求长 $lra phi,psiin BV[a,b]$.
(2) $dps{serd{a{ll} Lip[a,b]\ sed{[a,b]mbox{ 上单调函数}} ea}subset BV[a,b]}$.
(3) $BV[a,b]$ 与 $C[a,b]$ 之间没有半毛钱关系.
3有界变差函数的性质
(1)$dps{fin BV[a,b], [a_1,b_1]subset [a,b] a fin BV[a_1,b_1]}$.
(2)$dps{a<c<b a underset{a}{overset{b}{V}}(f) =underset{a}{overset{c}{V}}(f) +underset{c}{overset{b}{V}}(f)}$.
(3)$fin BV[a,b] a f$ 有界.
(4)$f,gin BV[a,b] a fpm g, fcdot gin BV[a,b]$.
(5)有界变差函数的 Jordan 分解: $$ex fin BV[a,b] a f=g+h,quad g,h earrow. eex$$ 证明: $$ex f(x)=underset{a}{overset{x}{V}}(f)-sez{ underset{a}{overset{x}{V}}(f)-f(x) }. eex$$
(6)推论: $$ex fin BV[a,b] a sedd{a{ll} f'aembox{ 存在}\ f'in L[a,b] ea}. eex$$
(7)$dps{underset{a}{overset{x}{V}}(f)mbox{ 单增} a frac{ d}{ d x}underset{a}{overset{x}{V}}(f)=|f'(x)|,ae}$.
4作业: Page 179 T 14.
6.4 不定积分 (indefinite integral)
1.不定积分 (indefinite integral): $$ex fin L[a,b] a F(x)=int_{[a,x]}f(t) d t+C eex$$ 称为 $f$ 的一个不定积分, 其中 $C$ 为任一常数.
2不定积分的性质: 设 $$ex F(x)=int_a^x f(t) d t+C,quad fin L[a,b], eex$$ 则由积分的绝对连续性, $$ex forall ve>0, exists delta>0, forall Asubset A: mA<delta,mbox{ 有 } sev{int_A f(x) d x}leq int_A sev{f(x)} d x<ve. eex$$ 特别取 $$ex A=cup_{i=1}^n (a_i,b_i), (a_i,b_i)mbox{ 两两不交}, sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<delta, eex$$ 有 $$eex ea &quadsum_{i=1}^n |F(b_i)-F(a_i)| =sum_{i=1}^n sev{int_{[a_i,b_i]}f(x) d x} leq sum_{i=1}^n int_{[a_i,b_i]}|f(x)| d x\ & =int_{cup_{i=1}^n [a_i,b_i]}|f(x)| d x<ve. eea eeex$$ 综上, 不定积分 $F$ 具有性质: $$eelabel{6.4:ac} dps{forall ve>0, exists delta>0, forall sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^nmbox{ 两两不交}, sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<delta,}atopdps{mbox{ 有 }sum_{i=1}^n |F(b_i)-F(a_i)|<ve.} eee$$
3绝对连续函数 (absolutely continuous functions): $$ex fin AC[a,b]lra eqref{6.4:ac} mbox{ 成立}. eex$$
4 AC 函数的性质
(1)$dps{fin L[a,b] a F(x)=int_a^xf(t) d t+Cin AC[a,b]}$.
(2)$AC[a,b]subset UC[a,b]$ (uniformly continuous).
(3)$Lip[a,b]subset AC[a,b]subset BV[a,b]$. 证明: 设 $fin AC[a,b]$, 则对 $ve=1$, $$ex forall sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^nmbox{ 两两不交}, sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<delta,mbox{ 有 }sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<1. eex$$ 选取 $dps{n:frac{1}{n}<delta}$, 对 $[a,b]$ $n$ 等分: $dps{x_i=a+frac{b-a}{n}i i=0,1,cdots,n}$, 则 $$ex underset{x_{i-1}}{overset{x_i}{V}}(f)leq 1 a underset{a}{overset{b}{V}}(f) =sum_{i=1}^n underset{x_{i-1}}{overset{x_i}{V}}(f)leq n<+infty. eex$$
5 常数函数的判断: $$ex fin AC[a,b], f'equiv 0,ae a fequiv const. eex$$
6积分与微分为互逆运算 (Lebesgue 意义下)
(1) 积分后再微分可还原:
$$ex fin L[a,b] a frac{ d}{ d x}int_{[a,x]}f(t) d t=f(x),ae.eex$$ 证明: $$ex F(x)=int_{[a,x]}f(t) d t in AC[a,b]subset BV[a,b] a Fae mbox{ 可导}. eex$$ $$eex ea &quadint_{[a,b]}sev{frac{ d}{ d x}int_{[a,x]}f(t) d t-f(x)} d x\ &leq int_{[a,b]}sev{frac{ d}{ d x}int_{[a,x]}f(t) d t-phi(x)} d x +int_{[a,b]}|f(x)-phi(x)| d x\ &quadsex{phi in C[a,b]: int_{[a,b]}|f(x)-phi(x)| d x<frac{ve}{2},mbox{ 参见 Page 118}}\ &=int_{[a,b]}sev{frac{ d}{ d x} int_{[a,x]}[f(t)-phi(t)] d t} d x+frac{ve}{2}\ &<I+frac{ve}{2}. eea eeex$$ 我们估计 $I$. 为此, 记 $h=f-g$, 则 $$eex ea h&=h^+-h^-\ int_a^x h(t) d t &=int_a^ xh^+(t) d t -int_a^x h^-(t) d t\ frac{ d}{ d x} int_a^x h(t) d t &=frac{ d}{ d x}int_a^ xh^+(t) d t -frac{ d}{ d x}int_a^x h^-(t) d t\ sev{frac{ d}{ d x} int_a^x h(t) d t} &leq frac{ d}{ d x}int_a^ xh^+(t) d t +frac{ d}{ d x}int_a^x h^-(t) d t\ I&leq int_a^b sez{ frac{ d}{ d x}int_a^ xh^+(t) d t } d x +int_a^b sez{ frac{ d}{ d x}int_a^x h^-(t) d t } d x\ &leq int_a^b h^+(x) d x +int_a^b h^-(x) d x\ &quadsex{a{ll}dps{phi(x)=int_a^xh^+(t) d tin AC[a,b]subset BV[a,b]}\dps{ a int_a^b phi'(x) d x leq phi(b)-phi(a)=int_a^b h^+(x) d x}ea}\ &=int_a^b |h(x)| d x\ &<frac{ve}{2}. eea eeex$$
(2) 微分后再积分可还原: $$ex Fin AC[a,b] a sedd{a{ll} F'aembox{ 存在}\ F'in L[a,b]\ F(x)=F(a)+int_a^x F'(t) d t ea}. eex$$ 证明: 令
$$ex G(x)=F(a)+int_a^x F'(t) d t,quad H(x)=F(x)-G(x). eex$$ 则 $Hin AC[a,b]$, $H'=0,ae$. 故 $H=const$.
7 AC 函数的刻画 $$eex ea AC[a,b]&=sed{mbox{Lebesgue 可积函数的不定积分}}\ &=sed{f; a{ll}dps{forall ve>0, exists delta>0, forall sed{(a_i,b_i)}_{i=1}^infty (a_i,b_i)mbox{ 两两不交}, }atopdps{sum_{i=1}^infty(b_i-a_i)<delta, mbox{ 有 }sum_{i=1}^infty |f(b_i)-f(a_i)|<ve }ea}. eea eeex$$
8作业: Page 179 T 16.