1 定义: 若 $AsimbN$, 则称 $A$ 为可数集 (countable set).
2 例: 正奇数集合、正偶数集合、整数集合.
3 性质:
(1) 任何无限集均有一个可数子集. 即: 若 $A$ 为无限集, 则 $overline{overline{A}}geq aequiv overline{overline{bN}}$.
证明: $As sed{a_1,cdots,a_n} eq vno$ 而可取出第 $n+1$ 个元.
(2) 可数集的任何无限子集为可数集, 可数集的任何子集为有限集或可数集.
证明: 设 $A$ 可数, $Bsubset A$ 无限, 则由 $Bsubset A$ 知 $overline{overline{B}}leq overline{overline{A}}$; 由 $B$ 无限及
性质 (1) 知 $overline{overline{A}}geq a=overline{overline{A}}$. 据 Bernstein 定理, $overline{overline{B}}=a$.
(3) $A$ 可数, $B$ 有限或可数, 则 $Acup B$ 可数.
证明: 若 $Acap B=vno$, 则可设 $$ex A=sed{a_1,a_2,cdots}; eex$$ $$ex B=sed{b_1,cdots,b_n}mbox{ 或 } B=sed{b_1,b_2,cdots}. eex$$
于是 $$ex Acup B=sed{b_1,cdots,b_n,a_1,a_2,cdots}mbox{ 或 } B=sed{a_1,b_1,a_2,b_2,cdots} eex$$
可数.
若 $Acap B eq vno$, 则 $$ex Acup B=Acup(Bs A), eex$$
而化为已证的情形.
(4) $sed{A_i}_{i=1}^n$ 有限或可数, 则 $dps{cup_{i=1}^n A_i}$ 也有限或可数; 且若某 $A_i$ 可数, 则
$dps{cup_{i=1}^n A_i}$ 可数.
证明: 对 $n$ 作数学归纳法即化为性质 (3).
(5) $sed{A_i}_{i=1}^infty$ 为可数集列, 则 $dps{cup_{i=1}^infty A_i}$ 可数.
证明: 先设 $A_i$ 互不相交: $A_icap A_j=vno, i eq j$. 由 $A_i$ 可数知可再设 $$ex A_i=sed{a_{i1},a_{i2},a_{i3},cdots}. eex$$
于是 $dps{cup_{i=1}^infty A_i}$ 可一个不拉地排成蛇形: $$ex a{ccccccccc}A_1={&a_{11}& o&a_{12}&&a_{13}& o&a_{14}&cdots}\ &&swarrow&& earrow&&swarrow&&\ A_2={&a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}&cdots}\ &downarrow& earrow&&swarrow&& earrow&&\ A_3={&a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}&cdots}\ &&swarrow&& earrow&&&&\ A_4={&a_{41}& o&a_{42}&&a_{43}&&a_{44}&cdots}. eaeex$$ 当 $A_i$ 不是互不相交的时候, 令 $$ex B_1=A_1,quad B_i=A_is (A_1cup cdotscup A_{i-1}) eex$$
后有 $B_i$ 互不相交且 $dps{cup_{i=1}^infty B_i=cup_{i=1}^infty A_i}$, 而可化为已证的情形.
(6) $sed{A_i}_{i=1}^n$ 可数, 则 $prod_{i=1}^n A_i$ 可数.
证明: 用数学归纳法. 归纳步利用 $$eex ea &quad A_{n+1}=sed{a_1,a_2,cdots}\ & a A_1 imescdots imes A_{n+1}=cup_{n=1}^infty [A_1 imescdots imes A_n imes sed{a_i}], eeaeeex$$
及性质 (5).
4 例:
(1) 直线上互不相交的开区间族有限或可数.
证明: 设 $sed{(a_alpha,b_alpha)}_{alphain vLa}$ 是直线上互不相交的开区间族, 则可取定 $(a_alpha,b_alpha)$
中的一个有理数 $r_alpha$, 而得到该集族到 $bQ$ 的一个子集的一一对应.
(2) $bQ$ 可数.
证明: 利用 $$exbQ=cup_{n=1}^infty sed{frac{m}{n};minbZ} eex$$
及性质 (5).
(3) $bQ^2$ ($bR^2$ 中有理点全体) 可数.
证明: 利用 $bQ^2=bQ imes bQ$ 及性质 (6).
(4) 整系数多项式全体 $bZ[x]$ 可数.
证明: $$eex ea bZ[x] &=sed{0}cup cup_{n=0}^infty sed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_0; a_iinbZ,a_n eq 0}\ &sim sed{0}cup cup_{n=0}^infty (bZs sed{0}) imes underbrace{bZ imes cdots imes bZ}_{nmbox{ 个}}. eea eeex$$
(5) 代数数 (整系数多项式的根, algebraic numbers; 不是代数数的复数称为
超越数: transcendental numbers) 全体 $A$ 可数.
证明: 对有理数 $m/ninbQ$, 其为 $nx-m=0$ 的根, 而 $bQsubset A$, $overline{overline{bQ}}leq overline{overline{A}}$.
另外, $A$ 中元 $a$ 既然是整系数多项式的根, 就可以取定其中一个整系数多
项式, 而得到 $A$ 到 $bZ[x]$ 的一个子集的一一对应, 由例 (4), $overline{overline{A}}leq a$.