[zz]伸展树

一、简介：
伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。
二、自调整和均摊分析：
   平衡查找树的一些限制：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
   平衡查找树可以考虑提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。
三、均摊时间边界：
在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。
为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：
旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：

为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。
下图展示了将节点3旋转到根：

                           图1
首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。
注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！
四、基本的自底向上伸展树：
   应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。
   在旋转的时候，可以分为三种情况：
1、zig情况。
   X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
   如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：

                               图2
   这和一个普通的单旋转相同。
2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。
如图所示：

                           图三
3、zig-zig情况。
   这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
   先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。
   如图所示：

                                   图四
   下面是splay的伪代码：
   P(X) : 获得X的父节点，G(X) : 获得X的祖父节点（=P(P(X))）。
   Function Buttom-up-splay:
       Do
           If X 是 P(X) 的左子结点 Then
               If G(X) 为空 Then
                   X 绕 P（X）右旋
               Else If P（X）是G（X）的左子结点
                   P(X) 绕G(X)右旋
                   X 绕P(X)右旋
               Else
                   X绕P(X)右旋
                   X绕P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
               Endif
           Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
               If G(X) 为空 Then
                   X 绕 P（X）左旋
               Else If P（X）是G（X）的右子结点
                   P(X) 绕G(X)左旋
                   X 绕P(X)左旋
               Else
                   X绕P(X)左旋
                   X绕P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
               Endif
           Endif
       While (P(X) != NULL)
   EndFunction
   仔细分析zig-zag，可以发现，其实zig-zag就是两次zig。因此上面的代码可以简化：
   Function Buttom-up-splay:
       Do
           If X 是 P(X) 的左子结点 Then
               If P（X）是G（X）的左子结点
                   P(X) 绕G(X)右旋
               Endif
               X 绕P(X)右旋
           Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
               If P（X）是G（X）的右子结点
                   P(X) 绕G(X)左旋
               Endif
               X 绕P(X)左旋
           Endif
       While (P(X) != NULL)
   EndFunction
   下面是一个例子，旋转节点c到根上。

                                   图五
五、基本伸展树操作：
1、插入：
   当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
   如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
       查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
   首先执行查找最小的操作。
这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
首先执行查找最大的操作。
删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
       将要删除的节点移至根。
       删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
       使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
       使R成为L的根的右子树。
       如下图示：

                               图六
六、自顶向下的伸展树：
   在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
   当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
1、zig：

                               图七
   如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。
2、zig-zig:

                               图八
   在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:

                           图九
   在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
   最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：

                               图十
   将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
   下面给出伪代码：
   右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
   左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
   T ：当前的根节点。
Function Top-Down-Splay
    Do
       If X 小于 T Then
            If X 等于 T 的左子结点 Then
                右连接
            ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then
                T的左子节点绕T右旋
                右连接
            Else X大于 T 的左子结点 Then
                右连接
                左连接
            EndIf
       ElseIf X大于 T Then
            IF X 等于 T 的右子结点 Then
                左连接
            ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then
                T的右子节点绕T左旋
                左连接
            Else X小于 T 的右子结点‘ Then
              左连接
                右连接
            EndIf
       EndIf
    While ！(找到 X或遇到空节点)
   组合左中右树
EndFunction

   同样，上面的三种情况也可以简化：
   Function Top-Down-Splay
       Do
           If X 小于 T Then
                If X 小于 T 的左孩子 Then
                    T的左子节点绕T右旋
                EndIf
               右连接
           Else If X大于 T Then
                If X 大于 T 的右孩子 Then
                    T的右子节点绕T左旋
                EndIf
左连接
        EndIf
While !(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
   EndFuntion

   下面是一个查找节点19的例子：
   在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。

   这个例子是查找节点c：

最后，给一个用C语言实现的例子：

  1 /*
  2                   An implementation of top-down splaying
  3                       D. Sleator <sleator@cs.cmu.edu>
  4                                March 1992
  5    */
  6   #include <stdlib.h>
  7   #include <stdio.h>
  8    int size;  /* number of nodes in the tree */
  9              /* Not actually needed for any of the operations */
 10   typedef struct tree_node Tree;
 11    struct tree_node
 12   {
 13       Tree * left, * right;
 14       int item;
 15   };
 16   
 17   Tree * splay (int i, Tree * t)
 18   {
 19    /* Simple top down splay, not requiring i to be in the tree t.  */
 20    /* What it does is described above.                             */
 21       Tree N, *l, *r, *y;
 22       if (t == NULL)
 23           return t;
 24       N.left = N.right = NULL;
 25       l = r = &N;
 26       for (;;)
 27       {
 28           if (i < t->item)
 29           {
 30               if (t->left == NULL)
 31               {
 32                   break;
 33               }
 34               if (i < t->left->item)
 35               {
 36                   y = t->left;                           /* rotate right */
 37                   t->left = y->right;
 38                   y->right = t;
 39                   t = y;
 40                   if (t->left == NULL)
 41                   {
 42                       break;
 43                   }
 44               }
 45               r->left = t;                               /* link right */
 46               r = t;
 47               t = t->left;
 48           }     
 49           else if (i > t->item)
 50           {    
 51               if (t->right == NULL)
 52               {
 53                   break;
 54               }
 55               if (i > t->right->item)
 56               {
 57                   y = t->right;                          /* rotate left */
 58                   t->right = y->left;
 59                   y->left = t;
 60                   t = y;
 61                   if (t->right == NULL)
 62                   {
 63                       break;
 64                   }
 65               }
 66               l->right = t;                              /* link left */
 67               l = t;
 68               t = t->right;
 69           }     
 70           else    
 71           {
 72               break;
 73           }
 74       }
 75       l->right = t->left;                                /* assemble */
 76       r->left = t->right;
 77       t->left = N.right;
 78       t->right = N.left;
 79       return t;
 80   }
 81    /* Here is how sedgewick would have written this.                    */
 82   /* It does the same thing.                                           */
 83   Tree * sedgewickized_splay (int i, Tree * t)
 84   {
 85       Tree N, *l, *r, *y;
 86       if (t == NULL)
 87       {
 88           return t;
 89       }
 90       N.left = N.right = NULL;
 91       l = r = &N;
 92       for (;;)
 93       {
 94           if (i < t->item)
 95           {
 96               if (t->left != NULL && i < t->left->item)
 97               {
 98                   y = t->left;
 99                   t->left = y->right;
100                   y->right = t;
101                   t = y;
102               }
103               if (t->left == NULL)
104               {
105                   break;
106               }
107               r->left = t;
108               r = t;
109               t = t->left;
110           }
111           else if (i > t->item)
112           {
113               if (t->right != NULL && i > t->right->item)
114               {
115                   y = t->right;
116                   t->right = y->left;
117                   y->left = t;
118                   t = y;
119               }
120               if (t->right == NULL)
121               {
122                   break;
123               }
124               l->right = t;
125               l = t;
126               t = t->right;
127           }
128           else
129           {
130               break;
131           }
132       }
133       l->right=t->left;
134       r->left=t->right;
135       t->left=N.right;
136       t->right=N.left;
137       return t;
138   }
139   
140   Tree * insert(int i, Tree * t)
141   {
142   /* Insert i into the tree t, unless it's already there.    */
143   /* Return a pointer to the resulting tree.                 */
144       Tree * new;
145       
146       new = (Tree *) malloc (sizeof (Tree));
147       if (new == NULL)
148       {
149           printf("Ran out of space\n");
150           exit(1);
151       }
152       new->item = i;
153       if (t == NULL)
154       {
155           new->left = new->right = NULL;
156           size = 1;
157           return new;
158       }
159       t = splay(i,t);
160       if (i < t->item)
161       {
162           new->left = t->left;
163           new->right = t;
164           t->left = NULL;
165           size ++;
166           return new;
167       }
168       else if (i > t->item)
169       {
170           new->right = t->right;
171           new->left = t;
172           t->right = NULL;
173           size++;
174           return new;
175       }
176       else
177       {
178           /* We get here if it's already in the tree */
179           /* Don't add it again                      */
180           free(new);
181           return t;
182       }
183   }
184   
185   Tree * delete(int i, Tree * t)
186   {
187   /* Deletes i from the tree if it's there.               */
188   /* Return a pointer to the resulting tree.              */
189       Tree * x;
190       if (t==NULL)
191       {
192           return NULL;
193       }
194       t = splay(i,t);
195       if (i == t->item)
196       {               /* found it */
197           if (t->left == NULL)
198           {
199               x = t->right;
200           }
201           else
202           {
203               x = splay(i, t->left);
204               x->right = t->right;
205           }
206           size--;
207           free(t);
208           return x;
209       }
210       return t;                         /* It wasn't there */
211   }
212   
213   int main(int argv, char *argc[])
214   {
215   /* A sample use of these functions.  Start with the empty tree,         */
216   /* insert some stuff into it, and then delete it                        */
217       Tree * root;
218       int i;
219       root = NULL;              /* the empty tree */
220       size = 0;
221       for (i = 0; i < 1024; i++)
222       {
223           root = insert((541*i) & (1023), root);
224       }
225       printf("size = %d\n", size);
226       for (i = 0; i < 1024; i++)
227       {
228           root = delete((541*i) & (1023), root);
229       }
230       printf("size = %d\n", size);
231   }