随机过程初步

随机过程基础

一、马尔科夫过程

　　在马尔科夫过程中，未来的变量变动只依赖于变量现在的取值，而不是变量怎么达到现在的取值。

二、维纳过程

　　令变量z在短时间Δt内的变化是Δz。如果变量的变化Δz服从以零为均值、以Δt为方差的正态分布，且任何两个时点的变化相互独立，则该过程为标准维纳过程。

标准维纳过程的性质

三、广义维纳过程

　　dx=a dt+bdz(t)，其中，dz(t)为标准维纳过程。

x在单位时间内的变化的均值为a。
x在单位时间内的变化的方差为b²。

四、伊藤引理

如果G是维纳过程x和时间t的函数，即G=G(x,t)，给定x服从的维纳过程，伊藤引理告诉我们G(x,t)应该满足的偏微分方程。这个偏微分方程就称为伊藤公式。
由于衍生品的价格依赖于基础资产的价格，伊藤引理在衍生品定价分析中有非常重要的应用。

五、费曼定理(Feynman-Kac定理)

六、Girsanov定理

随机过程的历史

柯尔莫果洛夫(kolmogorov)存在定理

　　对于给定的参数集T和具有对称性与相容性的分布函数族F={F_t1,_t2,...,tn(x₁,x₂,...,x_n):∀t₁,t₂,...,t_n∈T,x₁,x₂,...,x_n∈R,n∈N}一定存在某个随机过程{X(t),t∈T}，使得F恰好是该随机过程的有限分布函数族。

随机过程的分类

　　根据时间指标集合T与状态空间S离散与否，随机过程可分为：

离散时间+离散状态的随机过程（生物群体增长问题）——伯努利过程
离散时间+连续状态的随机过程（天气预报）——严高斯过程
连续时间+离散状态的随机过程（网站访问人数）——泊松过程
连续时间+连续状态的随机过程（随机相位波）——正态过程

随机过程的定义

　　设S_k(k=1,2,...)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作x_i(t)，所有可能出现的结果的总体{x₁(t),x₂(t),...,x_n(t),...}就构成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。它兼有随机变量和时间函数的特点。

随机过程的统计特性

　　随机过程的两重性使我们可以用于描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。