昨天在网上看到一个非常有意思的问题：
数学老师和体育老师打赌，数据老师认为在他们有50个人的班级里有两个生日是同一天的同学的概率远超没有的概率，反之是体育老师的观点。
第一次看到的时候我觉得这特数学老师才是教体育的吧，
我万万没想到在这个po主 经过一番奇奇怪怪 我没有看懂的数学操作之后
他告诉我 50个人的班级里 有两个生日相同的同学的概率是97%以上
而且 他还告诉我 他是科学的 严谨的 正确的 我特么.......
这里就引出了生日悖论
百度百科解释如下
生日悖论，指如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
可我还是不信 怎么办? 写段代码跑
第一次 测试100次一年内20个随机日期 出现相同的概率
妈呀 第一次 概率居然达到了90%
检查代码后发现没问题 再来一遍 这次 还是20个人 测试10000次
这次没有那么夸张 可也有41.8%
于是我测试了一下50个人的概率 还是一万次
97.7%！！！！！！！！！！！
随后又进行了几次测试 发现概率均在90%以上
而且测试次数越多结果越是趋近于97% - 98%
相信你和我一样 很震惊 不过我眉头一皱 就找到了问题的答案 嘿嘿嘿 下面是科普时间
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么
第一个人的生日是 365选365
第二个人的生日是 365选364
第三个人的生日是 365选363
:
:
:
第n个人的生日是 365选365-(n-1)
所以所有人生日都不相同的概率是：
那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：
所以当n=23的时候，概率为0.507
当n=100的时候，概率为0.999999692751072
对于已经确定的个人，生日不同的概率会发生变化。下面用随机变量计算：
令X[i,j]表示第i个人和第j个人生日不同的概率，则易知任意X[i,j]=364/365
令事件A表示n个人的生日都不相同
P(A)=
解P(A)<1/2，由对数可得：n>=23
相比之下，随机变量也同样的简单易懂
，且计算起来要方便得多
嗯~ ~ 如果你还是不是明白 那我换种说法
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生23 × 22/2 = 253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50%了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。
后来啊，生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2^N次而是只有2^(N/2)次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。
生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量
ok 科普结束
