线段树详解与实现

此篇文章用于记录《玩转数据结构》课程的学习笔记

什么是线段树

线段树也被称为区间树，英文名为Segment Tree或者Interval tree，是一种高级的数据结构。这种数据结构更多出现在竞赛中，在常见的本科数据结构教材里没有介绍这种数据结构。但是，在面试中却有可能碰到和线段树相关的问题。那么为什么会产生线段树这种数据结构，线段树到底是为了解决什么样的一种问题呢？

其实这里的线段可以理解为区间，线段树就是为了解决区间问题的。

有一个很经典的线段树问题是：区间染色。

假设有一面墙，长度为 n，每次选择一段墙进行染色。

在区间染色的过程中，每次选择一段区间进行染色，这时新的颜色可能会覆盖之前的颜色。

最后的问题是：

在经过 m 次染色操作后，我们可以在整个区间看见多少种颜色？

更加普遍的说法是：

在经过 m 次染色操作后，我们可以在区间 [i, j]内看见多少种颜色？

由于第一个问题是第二个问题的一个特例，我们采用第二种问题来思考解决方法。

从上面可以看出，我们对于区间，有 2 种操作，分别是染色操作和查询区间的颜色，使用更加一般的说法，染色操作就是更新区间，查询区间的颜色就是查询区间。

这类问题里面，更加常见的的是区间查询：一个数组存放的不再是颜色，而是具体的数字，查询某个区间[i, j]的统计值。这里的统计值是指：区间内最大值、最小值、或者这个区间的数字和。

比如：

查询 2018 年注册的用户中消费最高的用户
查询 2018 年注册的用户中消费最低的用户

注意上面两种情况都是动态查询，我们查询的消费数据不只是 2018 的消费数据。

如果我们想查询 2018 年中消费最高的用户，那么 2018 年的数据已经固定了，我们直接在这一年的数据中进行统计分析就行了。

但是一个 2018 年注册的用户，在 2019 年、2020 年都可能会有消费。我们实际上查询的是：2018 年注册的用户中，到现在为止，消费最高的用户。

这种情况下，数据是在动态变化的，也就是说：2017 年注册的用户中，每个用户的消费额是会更新的，这就对应到更新区间的操作。

此时线段树就是一种好的选择。

按照通常的思路，使用数组存储上述的元素是比较好的，思考上面两个操作的时间复杂度：

更新区间：每次根据需要更新的区间的首尾索引，逐个遍历区间中的元素进行更新，时间复杂度为O(n)。
查询区间：每次根据需要更新的区间的首尾索引，逐个遍历区间种的元素进行查询，时间复杂度为O(n)。

两个操作的时间复杂度均为O(n)，对于需要多次动态使用的场景来说，性能可能是不够好的。

在这类问题中，我们关注的是一个个区间内的元素的情况，线段树就有用武之地了，线段树的优点就是把两个操作的时间复杂度降到了O(logn)。

操作	使用数组	使用线段树
更新	O(n)	O(logn)
查询	O(n)	O(logn)

这里提一点，如果你看到一个算法的时间复杂度是O(logn)，那这个算法大多与二叉树、分治算法有关。

这里也不例外，线段树就是使用二叉树来实现的。

那么一个区间是如何被构建成为一个二叉树的？

对于一个数组 A，如下所示：

对应的线段树就是：

二叉树中每个非叶子节点表示的是区间内元素的统计值，叶子节点存储的就是元素本身。上面说了统计值是指：区间内最大值、最小值、或者这个区间的数字和。比如你要求区间的最大值，每个每个节点存储的就是这个区间内元素的最大值。像下面这样：

假设你要查询[4,7]区间内的最大值，那么不用查到叶子节点，而是查到A[4, 7]这个节点就行了。

当然，并不是所有的区间都恰好落在一个节点，比如你要求[2, 5]区间内的最大值。那么就要分别找到A[2, 3]和A[4,5]的最大值，再进行比较。

可以看出，线段树的查询区间操作不需要遍历区间中的每一个元素，只要找到对应的树节点就可以返回，时间复杂度为O(logn)。

总结

从更加抽象的角度来讲，线段树的使用场景就是，对于给定区间，进行更新区间和查询区间操作：

更新区间：更新区间中的一个元素或者一个区间的值。
查询区间：查询一个区间[i, j]的最大值、最小值、或者区间的数字和。

注意，在大多数情况下，我们是不考虑区间里添加元素和删除元素的，我们假设区间的大小是固定的。

线段树的表示

树的一般表示方法是链式存储，每个节点有两个指针，一个指向左孩子，一个指向右孩子。但是满二叉树，和完全二叉树，除了使用链表法来存储，还可以使用数组来表示。

在满二叉树和完全二叉树的数组表示中，假设一个节点的所以是i，那么左孩子的索引就是$2 imes i +1$，右孩子的索引就是$2 imes i +2$。

那么线段树是不是满二叉树或者完全二叉树呢？能不能使用数组来表示呢？

在上面的例子中，我们的二叉树恰好是一棵满二叉树，这是因为我们的数组大小恰好是 8，也就是$2^3$，只有数组大小恰好是 2 的 n 次幂，所对应的线段树才会是一个满二叉树。在大部分情况下，线段树并不是一个满二叉树。如果一个数组的大小是 10 ，对应的线段树如下图所示。

所以线段树不是满二叉树，也不是完全二叉树。但实际上：线段树是平衡二叉树，是可以保证O(logn)的时间复杂度的，这里就不证明了。

其实平衡二叉树可以看作特殊的满二叉树，进而使用数组来表示。

下一步就是确定：对于大小为 n 的数组，需要多大的空间来存储线段树。

首先说一个结论，对于高为 h 层的满二叉树，一共有$2^{{h}-1$个节点，而最后一层有$2}{h-1}$个节点。那么：$除了最后一层的前面所有节点数 = 总的节点数 - 最后一层的节点数 = (2^{h}-1) - 2^{h-1} approx 2^{h-1}-1$。也就是：前面所有层的节点数之和等于最后一层的节点数减 1。

那么线段树所需要的节点数量，分两种情况来讨论：

如果 n 恰好是 2 的 k 次幂，由于线段树最后一层的叶子节点存储的是数组元素本身，最后一层的节点数就是 n，而根据上面的结论，前面所有层的节点数之和是$n-1$，那么总节点数就是$2 imes n-1$。为了方便起见，分配$ 2 imes n$的空间。
如果 n 不是 2 的 k 次幂，最坏的情况就是$n=2^k+1$，那么有一个元素需要开辟新的一层来存储，需要$4 imes n-5$的大小。为了方便起见，我们分配$4 imes n$的空间，已经足够了。

综上，首先需要判断数组的大小是否为 $2^k$，是则使用 $2 imes n$ 的空间，否则使用的 $4 imes n$ 空间。下面线段树的实现是基于数组来实现的，不过为了简便起见，下面的实现统一使用 $4 imes n$ 空间来存储线段树。

使用数组来存储线段树，会有一定的空间浪费，但是换来的时间复杂度的降低是可以接受的。同时，我也在最后会介绍链式存储的实现方式。

线段树的实现

首先需要两个数组，其中data存放原来的数据，tree就是存放线段树。

基本的 API 有getSize()：返回数组元素个数；get(int index)：根据索引获取数据。

其中每个元素使用泛型E表示，这是为了考虑可扩展性：如果你的数组元素不是数字，而是自定义的类，那么使用泛型就是比较好的选择。

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree; //线段树
    private E[] data; //数据

    public SegmentTree(E[] arr) {
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        tree = (E[]) new Object[arr.length * 4]; //大小为 4 * n
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }
    }

    // 返回数组元素个数
    public int getSize() {
        return data.length;
    }

    // 根据索引获取数据
    public E get(int index) {
        if (index < 0 || index > data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
        return data[index];
    }
}

由于把线段树看作一棵完全二叉树，应该定义两个 API，根据一个节点获取到它的左孩子和右孩子。

// 根据一个节点的索引 index，返回这个节点的左孩子的索引
private int leftChild(int index) {
	return 2 * index + 1;
}

// 根据一个节点的索引 index，返回这个节点的右孩子的索引
private int rightChild(int index) {
	return 2 * index + 2;
}

线段树的构建

下面考虑的就是构造线段树的每个节点。这里以求区间的最大值为例。

根节点存储的是整个[0,7]区间的最大值，左孩子存储的是[0,3]区间内的最大值，右孩子存储的是[4,7]区间内的最大值。

我们要求根节点的值，首先求得左右两个孩子的值，再从左右两个孩子中取出较大的值作为根节点的值。要求父节点区间的值，需要先求孩子节点区间的值，这是递归的性质。所以可以通过递归来创建线段树。

那么这个递归的终止条件，也就是 base case，是什么呢？

base case：如果一个节点的区间长度为1，不能再划分，也就是递归到底了，就返回这个元素本身。

明确了思路，那么我们的递归函数需要几个参数？

首先，既然是创建节点，那么需要节点在tree数组中的索引；其次，这个节点对应的区间的左边界和右边界。

总共需要 3 个参数，写出的代码如下：

// 在 treeIndex 的位置创建表示区间 [l,r] 的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
    // base case：递归到叶子节点了
    if (l == r) {
        tree[treeIndex] = data[l];
        return;
    }

    int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
    int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
    //划分区间
    int mid = l + (r - l) / 2;
    // 求（左孩子）左边区间的最大值
    buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
    // 求（右孩子）右区间的最大值
    buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
    //合并左右区间，求左区间和右区间点的最大值
    tree[treeIndex] = Math.max(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

当然这里最后一句是会报错的。因为tree的元素类型是泛型，不支持Math.max()函数。

还有一个问题是：如果你在这里把区间合并的逻辑写成了只取最大值，那么这个线段树就只能求某个区间的最大值，不能用于求取区间的最小值、或者区间的和，限制了线段树的应用场景。

一个更好的方法是：用户可以根据自己的业务场景，自由选择合并区间的逻辑。

要达成这个目的，我们需要创建一个接口，用户需要实现这个接口来实现自己的区间合并逻辑。

//融合器，表示如何合并两个区间的统计值
public interface Merger<E> {
    // a 表示左区间的统计值，b 表示有区间的统计值
    //返回整个[左区间+右区间] 的统计值
    E merge(E a, E b);
}

在线段树的构造函数中，添加一个Merger参数，并且调用buildSegmentTree()构建线段树。

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree; //线段树
    private E[] data; //数据
    private Merger<E> merger;//融合器

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {
        this.merger = merger;
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        tree = (E[]) new Object[arr.length * 4]; //大小为 4 * n
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }
        //构建线段树
        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }
    .
    .
    .
}

然后，修改buildSegmentTree()方法的最后一行。

// 在 treeIndex 的位置创建表示区间 [l,r] 的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
    // base case：递归到叶子节点了
    if (l == r) {
        tree[treeIndex] = data[l];
        return;
    }

    int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
    int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
    //划分区间
    int mid = l + (r - l) / 2;
    // 求（左孩子）左区间的统计值
    buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
    // 求（右孩子）右区间的统计值
    buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
    //求当前节点 [左区间+右区间] 的统计值
    tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

线段树的查询

我们用下面的数组构建一棵线段树，查询区间[2,5]为例。

我们首先从根节点开始查询：在区间[0,7]中查询[2,5]。

将根节点的区间分为左孩子[0,3]和右孩子[4,7]，而我们的查询的区间[2,5]，不能其中一个孩子的区间完全包括。

于是上述问题转化为两个子问题：

在区间[0,3]中查询[2,3]；
在区间[4,7]中查询[4,5]；
最后将[2,3]和[4,5]结果合并，得到区间[2,5]的结果。

将[0,3]划分为左孩子[0,1]和右孩子[2,3]，此时右孩子刚好和查询的区间重合，返回结果。

将[4,7]划分为左孩子[4,5]和右孩子[6,7]，此时左孩子刚好和查询的区间重合，返回结果。

从上面可以看出，在线段树的区间查找过程中，不需要遍历区间中的每个元素，只需要在线段树中找到对应的所有子区间，再将这些子区间的结果合并即可。而查询所经过的节点数最多是树的高度，时间复杂度为O(logn)。

而且上面的过程也是递归的过程。

递归终止条件就是：查询区间的边界和节点的边界完全重合，就返回该节点的统计值。

如果不重合，那怎么办？

这时应该分 3 种情况：

如果查询区间的左边界大于中间节点，那么就查询右区间

如果查询区间的右边界小于等于中间节点，那么就查询左区间
如果不属于上述两种情况，那么查询的区间就要根据中间节点拆分

递归函数的参数应该有 4 个，当前节点所在的区间的左边界和右边界，用户要查询的的区间的左边界和右边界。

代码如下：

//在以 treeIndex 为根的线段树中 [l,r] 的范围里，搜索区间 [queryL, queryR]
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
    if (l == queryL && r == queryR) {
        return tree[treeIndex];
    }
    int mid = l + (r - l) / 2;
    int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
    int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
    // 如果左边界大于中间节点，则查询右区间
    if (queryL > mid)
        return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
    // 如果右边界小于等于中间节点，则查询左区间
    if (queryR <= mid)
        return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
    // 如果上述两种情况都不是，则根据中间节点，拆分为两个查询区间
    E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
    E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
    //合并左右区间的查询结果
    return merger.merge(leftResult, rightResult);
}

线段树的更新

如下图所示，更新A[i]=100，那么将需要更新的索引 i和区间的终点mid，分为两种情况。

如果i>mid，那么索引i落在右区间，更新右区间；
如果i<=mid，那么索引i落在左区间，更新左区间；

那么递归的终止条件是什么呢？

当递归到叶子节点的时候，就值更新这个节点：叶子节点就是区间长度为 1 的节点。

当更新完叶子节点后，还需要回溯，更新父节点区间的统计值。

代码如下：

//将 index 位置的值，更新为 e
public void update(int index, E e) {
    if (index < 0 || index >= data.length)
        throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
    data[index] = e;
    //更新线段树相应的节点
    updateTree(0, 0, data.length - 1, index, e);
}

// 在以 treeIndex 为根的线段树中，更新 index 的值为 e
private void updateTree(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
    //递归终止条件
    if (l == r) {
        tree[treeIndex] = e;
        return;
    }
    int mid = l + (r - l) / 2;
    int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
    int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
    if (index > mid)
        updateTree(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
    else //index <= mid
        updateTree(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
    //更新当前节点
    tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

完整代码

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree; //线段树
    private E[] data; //数据
    private Merger<E> merger;//融合器

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {
        this.merger = merger;
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        tree = (E[]) new Object[arr.length * 4]; //大小为 4 * n
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }
        //构建线段树
        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }

    // 返回数组元素个数
    public int getSize() {
        return data.length;
    }

    // 根据索引获取数据
    public E get(int index) {
        if (index < 0 || index > data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
        return data[index];
    }

    //根据一个节点的索引 index，返回这个节点的左孩子的索引
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    //根据一个节点的索引 index，返回这个节点的右孩子的索引
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

    // 在 treeIndex 的位置创建表示区间 [l,r] 的线段树
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
        // base case：递归到叶子节点了
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        //划分区间
        int mid = l + (r - l) / 2;
        // 求（左孩子）左区间的统计值
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        // 求（右孩子）右区间的统计值
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
        //求当前节点 [左区间+右区间] 的统计值
        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

    //查询区间，返回区间 [queryL, queryR] 的统计值
    public E query(int queryL, int queryR) {
        //首先进行边界检查
        if (queryL < 0 || queryL > data.length || queryR < 0 || queryR > data.length || queryL > queryR) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
        }
        return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
    }

    //在以 treeIndex 为根的线段树中 [l,r] 的范围里，搜索区间 [queryL, queryR]
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
        if (l == queryL && r == queryR) {
            return tree[treeIndex];
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        // 如果左边界大于中间节点，则查询右区间
        if (queryL > mid)
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        // 如果右边界小于等于中间节点，则查询左区间
        if (queryR <= mid)
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        // 如果上述两种情况都不是，则根据中间节点，拆分为两个查询区间
        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
        //合并左右区间的查询结果
        return merger.merge(leftResult, rightResult);
    }
    //将 index 位置的值，更新为 e
    public void update(int index, E e) {
        if (index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
        data[index] = e;
        //更新线段树相应的节点
        updateTree(0, 0, data.length - 1, index, e);
    }

    // 在以 treeIndex 为根的线段树中，更新 index 的值为 e
    private void updateTree(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
        //递归终止条件
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        if (index > mid)
            updateTree(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
        else //index <= mid
            updateTree(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
        //更新当前节点
        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }
    
    public String toString() {
        StringBuffer res = new StringBuffer();
        res.append('[');
        for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
            if (tree[i] != null)
                res.append(tree[i]);
            else res.append("null");
            if (i != tree.length - 1)
                res.append(", ");
        }
        res.append(']');
        return res.toString();
    }
}

使用例子

定义一个求区间的最大值的线段树，代码如下：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] nums = new Integer[]{34, 65, 8, 10, 21, 86, 79, 30};
        SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums, new Merger<Integer>() {
            @Override
            public Integer merge(Integer a, Integer b) {
                //返回 a 和 b 的最大值
                return Math.max(a, b);
            }
        });
        // 查询区间 [2,5] 的最大值
        System.out.println(segTree.query(4, 7));
    }
}

当然，你也可以定义一个求区间内元素的和的线段树，只需要修改merge()方法的实现即可：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] nums = new Integer[]{34, 65, 8, 10, 21, 86, 79, 30};
        SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums, new Merger<Integer>() {
            @Override
            public Integer merge(Integer a, Integer b) {
                //返回 a 和 b 的和
                return a + b;
            }
        });
        // 查询区间 [2,5] 的和
        System.out.println(segTree.query(4, 7));
    }
}

LeetCode 上相关的题目

303. 区域检索和-数组不可变

题目链接：303. 区域和检索 - 数组不可变

线段树求解

这道题是求取区间和，可以使用线段树来实现。时间复杂度为O(logn)，空间复杂度为O(n)。

class NumArray {
    private int[] tree;
    private int[] data;

    public NumArray(int[] nums) {
        data = nums;
        tree = new int[nums.length * 4];
        //当数组长度大于 0 时，才创建线段树
        if (nums.length > 0)
            //创建线段树
            buildSegmentTree(0, 0, nums.length - 1);
    }

    //根据一个节点的索引 index，返回这个节点的左孩子的索引
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    //根据一个节点的索引 index，返回这个节点的右孩子的索引
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

    // 在 treeIndex 的位置创建表示区间 [l,r] 的线段树
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
        //递归终止条件：区间长度为 1
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        int mid = l + (r - l) / 2;
        //创建左区间（左孩子）的和
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        //创建右区间（右孩子）的和
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
        //合并做有区间的和
        tree[treeIndex] = tree[leftTreeIndex] + tree[rightTreeIndex];
    }

    public int sumRange(int i, int j) {
    	//tree.length == 1 表示数组没有元素，直接返回 0
        if (tree.length == 1)
            return 0;
        return queryRange(0, 0, data.length - 1, i, j);
    }

    //在以 treeIndex 为根的线段树中 [l,r] 的范围里，搜索区间 [queryL, queryR]
    private int queryRange(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
        if (queryL == l && queryR == r)
            return tree[treeIndex];

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        // 如果左边界大于中间节点，则查询右区间
        if (queryL > mid)
            return queryRange(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        // 如果右边界小于等于中间节点，则查询左区间
        if (queryR <= mid)
            return queryRange(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        // 如果上述两种情况都不是，则根据中间节点，拆分为两个查询区间
        int leftResult = queryRange(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        int rightResult = queryRange(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
        //合并左右区间的查询结果
        return leftResult + rightResult;
    }
}

前缀和求解

其实这道题有更加高效的解法，那就是前缀和。

前缀和的定义是：定义一个前缀和数组sum，每个元素sum[i]表示的是nums[0...i]区间中的元素的和。

那么我们要求[i,j]区间的和，就可以使用sum[j]-sum[i-1]得到。

注意当i=0时，i-1=-1会溢出。因此sums数组应该整体向后移动一位。

sum[0]=0表示前面没有元素，和应该是 0。

此时[i,j]区间的和应该是sum[j+1]-sum[i]。

代码如下：

class NumArray {
    //前缀和数组
    private int[] sums;

    public NumArray(int[] nums) {
        //边界条件判断
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            sums = new int[]{};
        }
        int n = nums.length;
        //由于整体后移了一位，长度应该为 n+1
        sums = new int[n + 1];
        //构建前缀和
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
        }
    }

    public int sumRange(int i, int j) {
        if (sums.length == 0)
            return 0;
        //直接返回前缀和相减的结果
        return sums[j + 1] - sums[i];
    }
}

使用前缀和数组的空间复杂度依然是O(n)，但时间复杂度是O(1)，优于线段树。

那既然这样，区间问题为什么还要用线段树呢？

因为这道题目加了一个限制：数组不可变，也就是说数组里的元素是固定的。

如果数组的内容是可变的，那么每次更新索引[i]的数据，相应的[i...n]区间的前缀和都需要更新。前缀和数组更新的时间时间复杂度是O(n)，而线段树的更新复杂度是O(logn)。

因此，在数组内容可变的情况下，线段树依然是更优的选择。

303. 区域检索和-数组可修改

题目链接：307. 区域和检索 - 数组可修改

前缀和求解

根据上面前缀和的做法，我们只需要添加更新数据和对应的前缀和的逻辑即可。

class NumArray {
    int[] sums;
    int[] data;

    public NumArray(int[] nums) {
        //边界条件判断
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            sums = new int[]{};
        }
        data = nums;
        int n = nums.length;
        //由于整体后移了一位，长度应该为 n+1
        sums = new int[n + 1];
        //构建前缀和
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
        }
    }

    public void update(int i, int val) {
        // 更新数组
        data[i] = val;
        //更新从 i 到 n 的前缀和
        for (int j = i; j < data.length; j++) {
            sums[j + 1] = sums[j] + data[j];
        }
    }

    public int sumRange(int i, int j) {
        if (sums.length == 0)
            return 0;
        //直接返回前缀和相减的结果
        return sums[j + 1] - sums[i];
    }
}

update()方法的时间复杂度是O(n)，sumRange()方法的时间复杂度是O(1)。

线段树求解

同理，这里只需要在上面 303. 区域和检索 - 数组不可变的线段树解法上，添加更新的线段树的逻辑即可。

class NumArray {
    int[] tree;
    int[] data;

    public NumArray(int[] nums) {


        data = nums;
        int n = nums.length;
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            tree = new int[]{};
            return;
        }
        tree = new int[n * 4];
        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }

    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
        // base case：递归到叶子节点了
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }
        //划分区间
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        // 求（左孩子）左区间的统计值
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        // 求（右孩子）右区间的统计值
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
        //求当前节点 [左区间+右区间] 的统计值
        tree[treeIndex] = tree[leftTreeIndex] + tree[rightTreeIndex];
    }

    private int leftChild(int treeIndex) {
        return 2 * treeIndex + 1;
    }

    private int rightChild(int treeIndex) {
        return 2 * treeIndex + 2;
    }

    //将 index 位置的值，更新为 e
    public void update(int i, int val) {
        // 更新数组
        data[i] = val;
        //更新线段树
        updateTree(0, i, 0, data.length - 1);

    }

    // 在以 treeIndex 为根的线段树中，更新 index 的值为 e
    private void updateTree(int treeIndex, int index, int l, int r) {
        //递归终止条件
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        if (index <= mid)
            updateTree(leftTreeIndex, index, l, mid);
        else //index <= mid
            updateTree(rightTreeIndex, index, mid + 1, r);
        //更新当前节点
        tree[treeIndex] = tree[leftTreeIndex] + tree[rightTreeIndex];

    }

    public int sumRange(int i, int j) {
        if (data.length == 0)
            return 0;
        return queryRange(0, 0, data.length - 1, i, j);
    }

    private int queryRange(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
        if (l == queryL && r == queryR) {
            return tree[treeIndex];
        }
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        if (queryL > mid)
            return queryRange(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        if (queryR <= mid)
            return queryRange(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        int leftResult = queryRange(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        int rightResult = queryRange(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
        return leftResult + rightResult;
    }
}

update()方法和sumRange()方法的时间复杂度都是O(n)。

总结与扩展

线段树，虽然不是满二叉树。但是我们却可以把它看作一棵满二叉树，进而使用数组来存储这棵树。

其次，在线段树中，我们定义了每个节点，存储的数据是这个节点对应区间的统计值（最大值、最小值、区间和）。通过这一点，你可以体会到，对于树中的节点，你可以赋予它独特的定义，进而可以高效地解决各种各样的问题。因此，树的使用范围是非常广泛的。

对于，线段树的构建、更新区间、和查询区间，这 3 个操作，都是先递归访问叶子节点，然后再回溯访问父节点，合并左右孩子区间的结果，这本质上是一种后序遍历的思想。

对一个区间进行更新

在本文的例子中，每次更新都是对一个元素进行更新。现在考虑另一种更新：对某个区间内的所有元素进行更新。

比如：将[2,5]区间中的所有元素都加 3，就需要遍历这个区间中的每个元素，区间更新的时间复杂度就变为了O(n)。为了降低区间更新的复杂度，有一种专门的方法：懒惰更新。

懒惰更新的思想是：在每次更新区间时，我们实际上先不更新实际的数据，而是使用另一个lazy数组，来标记这些未更新的内容。

那么什么时候才会更新这些节点呢？

当我们下一次更新或者查询到这些数据时，先查一下lazy数组中是否有数据未更新，然后将未更新的内容进行更新，再访问对应的数据。

例如：

第一次：将[2,5]区间中的所有元素都加 3，实际上lazy数组就会标记[2,5]区间的数据未更新；
第二次：将[4,7]区间中的所有元素都减 5。这时，查询lazy数组中，发现[4,5]区间的数据未更新，那么先更新[4,5]区间的内容，[2,3]区间的标记不变。然后标记[4,7]区间中的内容未更新。

通过懒惰更新，时间复杂度降为了O(logn)。

二维线段树

在这篇文章中，我们处理的都是一维的线段树，实际中还可以产生二位线段树。

一维线段树，就是数据都是一维数组，每个节点记录的区间只有左右两个边界。

在二维线段树中，数据是二维数组，也就是一个矩阵，每个节点记录的区间有上下左右两个边界。那么每个节点就有 4 个孩子。

进一步扩展，你也可以设计出 3 维的线段树，甚至更高维的线段树。

线段树是一种设计思想，利用树这种数据结构，如何把一个大的数据单元，递归地拆分为小的数据单元，同时，利用树这种数据结构，可以高效地进行查询、更新等操作。

动态线段树

在这篇文章中，我使用了数组这种数据结构来存储树，造成了空间的浪费。实际上，我们可以也使用链式存储，可以更好地利用空间。

实际上，动态线段树有一个更加重要的应用，。例如，我们要存储 10000000 大小的线段树，但是不会对这么大一个区间中的每一个部分都进行访问，可能只会对一种某个小部分进行访问。

那么我们可以不用一开始就创建这么巨大的线段树，而是只创建一个根节点，等到实际访问某个区间时，在根据区间的边界，动态地创建线段树。

树状数组

这篇文章讲的线段树，实际上是对区间操作的一种数据结构。与区间操作相关的数据结构，还有另外一个：树状数组，英文名为Binary Index Tree。感兴趣可以自行查阅。

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