函数$f(x)$在$[0，+infty)$上二阶可导，$f^{'}(0)≥0$， $f(0)≥0$ ，$f^{''}(x)≥f(x)$.则$f(x)≥f(0)+f^{'}(0)x$.
证.(Hansschwarzkopf ) 令$D=frac{d}{dx}$, 则$D^2=frac{d^2}{dx^2}$,
[f''(x)-f(x)=(D^2-I)f(x)=(D-I)(D+I)f(x)geqslant 0.]
令$u(x)=(D+I)f(x)$, 则$u(0)=f'(0)+f(0)geqslant 0$, 且$(D-I)u(x)geqslant 0$. 即
[e^xD(e^{-x}u(x))geqslant 0.]
故[e^{-x}u(x)geqslant u(0)geqslant 0.]
所以[(D+I)f(x)geqslant 0,]
即[e^{-x}D(e^xf(x))geqslant 0.]
从而[e^xf(x)geqslant f(0)geqslant 0.]
即[f(x)geqslant 0.]
故[D^2f(x)geqslant f(x)geqslant 0.]
因此
[f(x)=f(0)+f'(0)x+frac{f''( heta x)}{2}x^2geqslant f(0)+f'(0)x, forall xgeqslant 0.]
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37034&extra=page%3D1