计算下面不定积分与定积分
1.
$$I=int frac{dx}{xsqrt{x^2-1}}$$
2.
$$I=int x^{2}sqrt{x^2+1}$$
3.
$$I=intcsc^{2}xdx$$
4.
$$intfrac{xln x}{(1+x^{2})^{2}}dx$$
5.配对积分法
$$I=intfrac{sin x dx }{2sin x+3cos x}$$
6.
$$I=int frac{dx}{1+x^{4}}$$
7.递推法
$$I_{n}=int frac{dx}{(1+x^{2})^{n}}$$
8.递推法
$$I(m,n)=int cos^{m}xsin^{n}xdx$$
9.设$n>2$定义
$$I_{n}=intfrac{sin nx}{sin x}dx$$
证明：
$$I_{n}=frac{2}{n-1}sin (n-1)x+I_{n-2}$$
10.
$$I=intfrac{x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-5x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-x}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx$$
11.
$$I=int frac{1-sqrt{x+1}}{(x+1)(1+sqrt[3]{x+1})}dx$$
12. $m,n$为自然数
$$B(m,n)=int_{0}^{1}x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx$$
13.计算$$I=int frac{sin x +cos x}{1-cos xsin x}dx$$
注意到
$$frac{sin x+cos x}{1-cos xsin x}=-2 frac{-sin x-cos x}{1+(cos x-sin x)^{2}}$$
并且$$(cos x-sin x)'=-sin x-cos x $$
故
$$int frac{sin x +cos x}{1-cos xsin x}dx=-2arctan (cos x -sin x)$$