1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导，那么存在$xi in (a,b)$, s.t.
$$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Proof. 设$lambda=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$xi$,s.t. $f'(xi)-lambda=0$.
作辅助函数$$g(x)=f(x)-lambda (x-C),Cin mathbb{R}$$
有$g(a)=g(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=a$即可.
2.证明$Cauchy$中值定理: 设$f(x),g(x)in C[a,b]$,且$f(x),g(x)in C^{1}(a,b),g'(x) eq 0$,那么存在$xi in (a,b)$, s.t.
$$frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f'(xi)}{g'(xi)}$$
Proof. 设$lambda=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,要证即存在$xi in (a,b)$,s.t. $f'(xi)-lambda g'(xi)=0$.
作辅助函数
$$F(x)=f(x)-lambda g(x)+C, Cin mathbb{R}$$
有$F(a)=F(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=0$即可.
3.设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可微，且$f(a)=f(b)=0$,证明对每个$xin (a,b)$存在$xi in (a,b)$,s.t.
$$f(x)=frac{f''(xi)}{2}(x-a)(x-b)$$
Proof.固定$x in (a,b)$,设$lambda=frac{2f(x)}{(x-a)(x-b)}$,即要证存在$xi in (a,b)$,s.t. $f''(xi)=lambda$.
作辅助函数$$g(t)=f(t)-frac{lambda}{2}(t-a)(t-b)$$
则$g(a)=g(x)=g(b)=0$,在$[a,x]和[x,b]$上分别对$g(t)$应用Rolla中值定理知存在$g'(xi_{a})=g'(xi_{b})=0$,在$[xi_{a},xi_{b}]$上对$g'(t)$应用Rolle中值定理.
方法二：应用Cauchy中值定理（略）
4. 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微且有$b>a>0$成立，证明：存在$xi$,s.t.
$$f(b)-f(a)=ln frac{b}{a}xi f'(xi) $$
Proof.设$lambda=frac{f(b)-f(a)}{ln b -ln a}$,要证即存在$xiin(a,b)$s.t. $f'(xi)-frac{lambda}{xi}=0$
作辅助函数$$g(x)=f(x)-lambda (ln x -ln a)$$
则$g(a)=g(b)=f(a)$, 应用Rolle中值定理即可.
方法二： 直接使用Cauchy中值定理.
5.设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微，其中$g(x)$在$(a,b)$上无零点，证明：存在$xiin (a,b)$,s.t.
$$frac{f'(xi)}{g'(xi)}=frac{f(xi)-f(a)}{g(b)-g(xi)}$$
Proof.作辅助函数
$$F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(b)-f(a)g(x)$$
6. 设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可微，证明：存在$xi in (a,b)$，使成立
$$2xi [f(b)-f(a)]=(b^{2}-a^{2})f'(xi)$$
Proof: 作辅助函数
$$g(x)=(b^{2}-a^{2})f(x)-[f(b)-f(a)]x^{2}$$
注意：若应用Cauchy中值定理，要讨论条件不满足的情况。
7.设$f$在$[0,infty)$可微，且$0leq f(x) leq x/(1+x^{2})$.证明：存在$xi >0$,s.t.
$$f'(xi)=frac{1-xi^{2}}{(1+xi^{2})^{2}}$$
Proof: 设$$F(x)=frac{x}{1+x^{2}}-f(x)$$
由$0leq f(x) leq frac{x}{1+x^{2}}$知$f(0)=f(+infty)=0$从而
$$F(0)=F(+infty)$$
由广义的Rolle中值定理知存在$xi in (0,infty)$,s.t.$F'(xi)=0$.
8.设$f$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$可微，$f(0)=f(1)=0,fleft(frac{1}{2} ight)=1$.证明：
(1) 存在$eta in (frac{1}{2},1)$s.t. $f(eta)=eta$
(2) 对任何实数$lambda$,存在$xi in (0,eta)$,s.t. $f'(xi)-lambda(f(xi)-xi)=1$
Proof: (1). 设$g(x)=f(x)-x$,代入数值$g(1/2)=1/2,g(1)=-1$,由闭区间上连续函数的介值定理知存在$etain (1/2,1)$,s.t. $g(eta)=0$.
(2).作辅助函数
$$F(x)=e^{-lambda x}left(f(x)-x ight)$$
则$F(0)=F(eta)=0$,应用Rolle中值定理即可。
9. 设函数$f$在$[a,b]$上可导且$ab>0$,证明：存在$xi in (a,b)$,s.t.
$$f(xi)-xi f'(xi)=frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$$
Proof: 令$lambda=frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$,要证即存在$xi in (a,b)$,s.t.$f(xi)-xi f'(xi)=lambda$
构造辅助函数
$$F(x)=frac{f(x)-lambda}{x}$$
则$F(a)=F(b)$,应用Rolle中值定理即可。
注：作辅助函数使用了一种“凑微分”的技巧。这种技巧在解微分方程时对应积分因子法是一种非常常见的技巧。见补充习题四。
10. 设$f$在$[a,b]$上二阶可微，证明：存在$xi in (a,b)$,s.t.
$$f(a)-2fleft(frac{a+b}{2} ight)+f(b)=frac{1}{4}(b-a)^{2}f''(xi)$$
Proof.方法一：利用Lagrange型Taloy公式
$$f(a)=fleft(frac{a+b}{2} ight)+f'left(frac{a+b}{2} ight) left(frac{a-b}{2} ight)+frac{1}{2}f''(xi_{1})left(frac{b-a}{2} ight)^{2}$$
$$f(b)=fleft(frac{a+b}{2} ight)+f'left(frac{a+b}{2} ight) left(frac{b-a}{2} ight)+frac{1}{2}f''(xi_{2})left(frac{b-a}{2} ight)^{2}$$
两式相加，利用导数的介值性即可。
方法二：令$$lambda=frac{f(a)-2fleft(frac{a+b}{2} ight)+f(b)}{frac{1}{4}(b-a)^{2}}$$
构造辅助函数
$$F(t)=f(t)-2fleft(frac{t+a}{2} ight)+f(a)-lambdafrac{(t-a)^{2}}{4}$$
则,$F(a)=F(b)=0$，应用Rolle中值定理知存在$eta in (a,b)$,s.t.$F'(eta)=0=F'(a)$,再次应用Rolle中值定理即可。
方法三：作辅助函数
$$psi(x)=fleft(x+frac{b-a}{2} ight)-f(x)$$
则
$$psileft(frac{a+b}{2} ight)-psi(a)=psi'(xi_{1})frac{b-a}{2}=f''(xi)left(frac{b-a}{2} ight)^{2}$$