求极限
1. $$lim_{n oinfty}frac{1!+2!+cdots+n!}{n!}$$
提示：使用夹逼准则 $1！+2!+cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$. 也可以直接使用Stolz定理
2.$$lim_{n oinfty}(1+x)(1+x^{2})cdots(1+x^{2^{n}}),|x|<1$$
提示：乘以$(1-x)$.
3.$$lim_{n oinfty}left(1-frac{1}{2^{2}} ight) left(1-frac{1}{3^{2}} ight)cdots left(1-frac{1}{n^{2}} ight)$$
提示： 化简
4.$$lim_{n oinfty}left(1-frac{1}{1+2} ight) left(1-frac{1}{1+2+3} ight)cdots left(1-frac{1}{1+2+cdots+n} ight)$$
提示：通分，并利用求和公式化简。
5.$$lim_{n oinfty}left(1+frac{1}{n^{2}} ight) left(1+frac{2}{n^{2}} ight)cdotsleft(1+frac{n}{n^{2}} ight)$$
提示：夹逼准则,$x-frac{1}{2}x^{2}<ln (1+x)< x (x>0)$.
6.$$lim_{n oinfty}(lambda+2 lambda^{2}+cdots+nlambda^{n}),|lambda|<1$$
提示：可求和.
7.$$lim_{n oinfty}left(1+frac{1}{n}+frac{1}{n^{2}} ight)^{n}$$
8.设$lim_{x o 0}f(x)=0$且$f(x)-fleft(frac{x}{2} ight)=o(x),(x o 0)$, 求证$f(x)=o(x), (x o 0)$
提示：反复利用关系式.
9. 求极限$$lim_{n oinfty}prod_{k=1}^{n}(1-frac{lambda}{k}),0<lambda<1$$
解：由基本不等式得
$$prod_{k=1}^{n}left(1-frac{lambda}{k} ight) leq left(1- frac{lambdasum_{k=1}^{n}frac{1}{k}}{n} ight)^{n}$$
进一步
$$e^{nlnleft(1-frac{lambdasum_{k=1}^{n}frac{1}{k}}{n} ight)}sim e^{-lambda sum_{k=1}^{n}frac{1}{k}}, n o infty$$