a ) 为此介绍一些常见的变换及其性质
Laplace变换的定义为
$$ mathscr{L} {f(t)}=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$$
Laplace反演变换公式为
$$mathscr{L}^{-1}F(s)=int_{0}^{infty}F(s)e^{st}ds $$
定义卷积
$$f(t)ast g(t)=int_{0}^{t}f(t- au)g( au)d au=int_{0}^{t}f(t)g(t- au)d au=g(t) ast f(t)$$
易得卷积定理
$$mathscr{L}{f(t)ast g(t)}=F(s)G(s)$$
$$mathscr{L}^{-1}{F(s)G(s)}=f(t)ast g(t)$$
$n$阶导数的$Laplace$变换公式
$$mathscr{L}{D^{n}f(x)}=s^{n}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{n-k-1}f(0)$$
证明:不断地使用分部积分法即可。注意这个式子的特征是第一项的指标和是$n$,第二项的指标和是$n-1$.
特别地，若$D^{k}f(0)=0 (k=0,1,2cdots,n-1)$则
$$mathscr{L}{D^{n}f(x)}=s^{n}mathscr{L}{f(x)}$$
由此得$Riemann-Liouville$型分数阶导数的Laplace变换为
$$mathscr{L}{_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}f(x)}=s^{alpha}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{alpha-k-1}f(0)$$
其中$n-1leq alpha <n$.第一项指标和为$alpha$, 第二项指标和为$alpha-1$.式子中含有分数阶初值.
证明:
由定义知
$$D^{alpha}f(x)=D^{n}D^{-(n-alpha)}f(x)=D^{n}g(x)$$
其中
$$g(x)=D^{-(n-a)}f(x)=frac{x^{n-alpha-1}}{Gamma(n-alpha)}ast f(x)$$
由$n$阶导数的Laplace变换公式得
$$mathscr{L}{_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}}=s^{n}G(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{k}[D^{n-k-1}g(s)|_{s o 0^{+}}]$$
只要计算$G(s)$即可，利用卷积公式有
$$G(s)=mathscr{L}{frac{x^{n-alpha-1}}{Gamma(n-alpha)}}F(s)=s^{alpha-n}F(s)$$
代入上式既得要得的结论.
特殊地，
当$0<alpha<1$时有结论
$$mathscr{L}{_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}}=s^{alpha}F(s)-D^{alpha-1}f(0)$$
当$1<alpha<2$时有结论
$$mathscr{L}{_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}}=s^{alpha}F(s)-sD^{alpha-2}f(0)-D^{alpha-1}f(0)$$
从上面的证明过程我们也可以看到分数阶积分的Laplace变换为
$$mathscr{L}{D^{-alpha}f(x)}=mathscr{L}{frac{x^{alpha-1}}{Gamma(alpha)}}F(s)=s^{-alpha}F(s)$$
$Caputo$型的分数阶导数为
$$mathscr{L}{_{0}^{C}D_{t}^{alpha}f(x)}=s^{alpha}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{a-k-1}D^{k}f(0)$$
其中第一项指标和为$alpha$,第二项指标和为$alpha-1$,不含分数阶初值.
证明:利用分数阶积分的Laplace变换和$n$阶导数的Laplace变换得
$$mathscr{L}{{}_{0}^{C}D_{t}^{alpha}f(x)}=mathscr{L}{D^{-(n-alpha)}D^{n}f(x}=s^{a-n}[s^{n}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}D^{k}f(0)]$$
Fourier变换的定义为
$$mathscr{F}{f(x)}=int_{-infty}^{+infty}e^{-iomega x}f(x)dx$$
$$mathscr{F}^{-1}{F(omega)}=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{i omega x}dk$$
$n$阶导数的Fourier变换为
$$mathscr{F}{D^{n}f(x)}=(-iomega)^{n}F(omega)$$
证明:不断地采用分部积分法即可.
我们考虑如下的$Riemann-Liouville$型和$Caputo$型分数阶导数的Fourier变换
$$mathscr{F}{_{-infty}^{RL}D_{t}^{alpha}f(x)}=$$
$$mathscr{F}{_{-infty}^{C}D_{t}^{alpha}f(x)}=$$
另一种常用的变换是Millin变换，Millin变换的定义为
$$mathscr{M}{f(t)}=int_{0}^{+infty}t^{s-1}f(t)dt$$
Millin逆变换的定义为
$$f(t)=frac{1}{2pi i}int_{a-iinfty}^{a+iinfty}t^{-s}F(s)ds$$
同样可以考虑分数阶$Riemann-Liouville$型导数和$Caputo$型导数的Millin变换
$$mathscr{M}{_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}}=$$
$$mathscr{M}{_{0}^{C}D_{t}^{alpha}}=$$
以上变换是用变换法解分数阶微分方程的基础,有一些特殊函数及其性质在解的过程中也极其重要，下面予以介绍.
c). M-L函数、Wright函数、Fox函数
M-L函数:
我们知道指数函数的渐进展式
$$e^{x}=sum_{n=0}^{infty}frac{x^{n}}{n!}=sum_{n=0}^{infty}frac{x^{n}}{Gamma(n+1)},x in R$$
M-L函数正是指数函数的推广，这是由数学家 Mittag-Leffler 引进的函数，正如指数函数在整数阶微分方程中的地位一样，M-L函数在分数阶微分方程中也起到很重要的作用，我们也可以称其为广义的指数函数.
单参数的M-L函数为
$$E_{alpha}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(kalpha+1)}$$
双参数的M-L函数为
$$E_{alpha,eta}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(alpha k+eta)}$$
其中$alpha>0,eta>0$.
收敛性 (复数域内是全纯函数):
记$a_{k}=frac{1}{Gamma(alpha k+eta)}$,由斯特林公式得
$$overline{lim_{k o infty}}sqrt[k]{a_{k}}=overline{lim_{k o infty}}(alpha {k}+eta-1)^{-frac{alpha k+eta}{2k}}e^{alpha}=0$$
斯特林公式为
$$Gamma(1+x)=sqrt{2pi x}x^{x+frac{1}{2}}e^{-x+frac{ heta}{12x}},(0< heta<1)$$
一些特殊值从定义可得
$$E_{1,1}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(k+1)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{k!}=e^{z}$$
$$E_{1,2}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(k+2)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{(k+1)!}=frac{1}{z}sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k+1}}{(k+1)!}
=frac{e^{z}-1}{z}$$
$$E_{1,3}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(k+3)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{(k+2)!}=frac{1}{z^{2}}sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k+2}}{(k+2)!}
=frac{e^{z}-1-z}{z^{2}}$$
$$E_{1,m}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(k+m)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{(k+m-1)!}=frac{1}{z^{m-1}}sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k+m-1}}{(k+m-1)!}
=frac{e^{z}-sum_{k=0}^{m-2}frac{z^{k}}{k!}}{z^{m-1}}$$
当$alpha=2$时,
$$E_{2,1}(z^{2})=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{2k}}{Gamma(2k+1)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{2k}}{(2k)!}=cosh(z)$$
$$E_{2,2}(z^{2})=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{2k}}{Gamma(2k+2)}=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{2k}}{(2k+1)!}=frac{sinh(z)}{z}$$
其中
$$cosh(z)=frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$$
$$sinh(z)=frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$$
一个稍微困难一点又重要的等式是
$$E_{frac{1}{2},1}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(frac{k}{2}+1)}=e^{z^2} erfc(-z)$$
其中$erf(z)$为高斯误差函数
$$erf(z)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{z}e^{-t^{2}}dt$$
$$erfc(z)=1-erf(z)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{z}^{infty}e^{-t^{2}}dt$$
证明：
利用幂级数法，记$g(z):=sum_{n=0}^{infty}frac{(-z)^n}{Gamma(1+frac{n}{2})},$ 易证内闭一致收敛.
故
egin{eqnarray*}
g'(z)&=&sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^{n}n z^{n-1}}{Gamma(1+frac{n}{2})}\
&=& -frac{2}{sqrt{pi}}+sum_{n=2}^{infty}frac{(-1)^{n}n z^{n-1}}{Gamma(1+frac{n}{2})}\
&=&- frac{2}{sqrt{pi}}+2zsum_{m=0}^{infty}frac{(-1)^{m}z^{m}}{Gamma(1+frac{m}{2})},(Let n=m+2)\
&=&- frac{2}{sqrt{pi}}+2zg(z)
end{eqnarray*}
又$g(0)=1$,解倍努力方程便可得
$$g(z)=e^{z^{2}}erfc(z)$$
同理可得
$$frac{d}{dz}E_{frac{1}{k},1}(z)=kz^{k-1}E_{frac{1}{k},1}(z)+ksum_{n=1}^{k-1}frac{z^{n-1}}{Gamma(n/k)}$$
所以
$$E_{frac{1}{k},1}(z)=e^{z^{k}}+e^{z^{k}}int_{0}^{z}ke^{-t^{k}}sum_{n=1}^{k-1}frac{t^{n-1}}{Gamma(n/k)}dt$$
渐进估计：
首先有$E_{alpha}(z)$的积分表达式
$$E_{alpha}(z)=frac{1}{2pi i}int_{Ha}frac{xi^{alpha-1}}{xi^{alpha}-z} e^{xi}dxi, alpha>0,zin mathbb{C}$$
证明过程要用到$frac{1}{Gamma(z)}$的积分表达式
$$frac{1}{Gamma(z)}=frac{1}{2pi i}int_{Ha} e^{xi}xi^{-z}dxi$$
Hankel围道图形如下:
有渐进估计式
$$E_{eta}(-t^{eta})=sum_{k=0}^{infty}frac{(-t^{eta})^{k}}{Gamma(eta k+1)} sim frac{sin(eta pi)}{pi} frac{Gamma(eta)}{t^{eta}}$$
M-L函数的Laplace变换在解分数阶偏微分方程中起到核心作用:
$$mathscr{L}{t^{nalpha+eta-1}E_{alpha,eta}^{(n)}(t^{alpha})}=frac{n!s^{alpha-eta}}{(s^{alpha}-1)^{n+1}}$$
特殊地,当$n=0$时
$$mathscr{L}{t^{eta-1}E_{alpha,eta}(t^{alpha})}=frac{s^{alpha-eta}}{s^{alpha}-1}$$
证明：
$$E_{alpha,eta}^{(n)}(z)=frac{d^{n}}{dz^{n}}sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{Gamma(kalpha+eta)}=sum_{k=0}^{infty}frac{k(k-1)(k-2)cdots (k-n+1)z^{k-n}}{Gamma(kalpha+eta)}$$
所以
egin{eqnarray*}
int_{0}^{infty}e^{-st}t^{nalpha+eta-1}E_{alpha,eta}^{(n)}(t^{alpha})dt
&=&int_{0}^{infty}e^{-st}t^{nalpha+eta-1}sum_{k=0}^{infty}frac{k(k-1)(k-2)
cdots (k-n+1)t^{(k-n)alpha}}{Gamma(kalpha+eta)}dt\
&=&sum_{k=0}^{infty}k(k-1)(k-2)
cdots (k-n+1)int_{0}^{infty}e^{-st}frac{t^{kalpha+eta-1}}{Gamma(kalpha+eta)}dt\
&=&sum_{k=0}^{infty}frac{k(k-1)(k-2)cdots (k-n+1)}{s^{kalpha+eta}}\
&=&frac{1}{s^{eta}}sum_{k=0}^{infty}frac{k(k-1)(k-2)cdots(k-n+1)}{(s^{a})^{k}}\
&=&frac{1}{s^{eta}}sum_{k=0}^{infty}k(k-1)(k-2)cdots(k-n+1)lambda ^{k} (lambda=s^{-alpha})\
&=&frac{lambda^{n}}{s^{eta}}sum_{k=0}^{infty}k(k-1)(k-2)cdots(k-n+1)lambda ^{k-n}\
&=&frac{lambda^{n}}{s^{eta}}frac{d^{n}}{dlambda^{n}}(frac{1}{1-lambda})\
&=&frac{lambda^{n}}{s^{eta}}frac{n!}{(1-lambda)^{n+1}}\
&=&frac{n!s^{alpha-eta}}{(s^{alpha}-1)^{n+1}}\
end{eqnarray*}
推广至
$$mathscr{L}{t^{nalpha+eta-1}E_{alpha,eta}^{(n)}(gamma t^{alpha})}=frac{n!s^{alpha-eta}}{(s^{alpha}-gamma)^{n+1}}$$
特殊地，
$$mathscr{L}{t^{(n+1)alpha-1}E_{alpha,alpha}^{(n)}(gamma t^{alpha})}=frac{n!}{(s^{alpha}-gamma)^{n+1}}$$
所以有
$$mathscr{L}^{-1}{frac{k!}{(s^{alpha}-gamma)^{k+1}}}=t^{(k+1)alpha-1}E_{alpha,alpha}^{(k)}(gamma t^{alpha})$$
$$mathscr{L}^{-1}{frac{k!s^{alpha-eta}}{(s^{alpha}-gamma)^{k+1}}}=t^{kalpha+eta-1}E_{alpha,eta}^{(k)}(gamma t^{alpha})$$
分数阶微分方程的解法：
例1: 特征值问题
$$_{0}D_{t}^{alpha}f(x)=lambda f(x) $$
解：两边取Laplace变换则有
$$s^{alpha}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{alpha-k-1}f(0)=lambda F(s)$$
从而
$$F(s)=sum_{k=0}^{n-1}frac{s^{k}}{s^{alpha}-lambda}b_{k}$$
所以
$$f(t)=sum_{k=0}^{n-1}b_{k}mathscr{L}^{-1}{frac{s^{k}}{s^{alpha}-lambda}}=sum_{k=0}^{n-1}b_{k}t^{a-k-1}E_{alpha,alpha-k}(lambda t^{alpha})$$
例2: 含有非齐次项的分数阶微分方程
$$_{0}D_{t}^{alpha}f(x)-lambda f(x)=h(x)$$
解： 两边同时取Laplace变换有
$$s^{alpha}F(s)-sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{alpha-k-1}f(0)-lambda F(s)=H(s)$$
从而
$$F(s)=frac{H(s)}{s^{alpha}-lambda}+sum_{k=0}^{n-1}frac{s^{k}}{s^{alpha}-lambda}b_{k}$$
利用卷积定理和例1的结论有
$$f(x)=h(x)ast (t^{alpha-1}E_{alpha,alpha}(lambda t^{lambda}))+sum_{k=0}^{n-1}b_{k}t^{alpha-k-1}E_{alpha,alpha-k}(lambda t^{alpha})$$
例3: 设$0<p<q<1$,方程
$$_{0}D_{t}^{p}f(x)+_{0}D_{t}^{q}f(x)=h(x)$$
解: 两边同时取Laplace变换有
$$[s^{p}F(s)-s^{0}D^{p-1}f(0)]+[s^{q}F(s)-s^{0}D^{q-1}f(0)]=H(s)$$
从而
$$F(s)=frac{C+H(s)}{s^{p}+s^{q}}=(C+H(s))frac{s^{-p}}{s^{q-p}+1}$$
所以
$$f(t)=C t^{q-1}E_{q-p,q}(-t^{q-p})+ t^{q-1}E_{q-p,q}(-t^{q-p})ast h(t) $$
例4: (RL) 初边值问题
$$_{0}^{RL}D_{t}^{alpha}u(x,t)=lambda^{2}frac{partial ^{2}u(x,t)}{partial x^{2}} (0<alpha<1,t>0,-infty<x<+infty)$$
$$lim_{x o infty} u(x,t)=0,_{0}D_{t}^{alpha-1}u(x,t)|_{t=0}=varphi(x)$$
解: 对方程空间变量两边取Fourier变换
$$_{0}D_{t}^{alpha}u(omega,t)+lambda^{2}omega^{2}u(omega,t)=0$$
$$_{0}D_{t}^{alpha-1}u(omega,t)|_{t=0}=varphi(omega)$$
对上述方程时间变量两边取Laplace变换
$$s^{alpha}u(omega,s)-varphi(w)+lambda^{2}omega^{2}u(omega,s)=0$$
整理得
$$u(omega,s)=frac{varphi(omega)}{s^{alpha}+lambda^{2}omega^2}$$
然后对上述方程取Laplace逆变换得
$$u(omega,t)=varphi(w)t^{alpha-1}E_{alpha,alpha}(-lambda^{2}omega^{2}t^{alpha})$$
对上式再采取Fourier逆变换得
$$u(x,t)=varphi(x) ast mathscr{F}^{-1}{t^{alpha-1}E_{alpha,alpha}(-lambda^{2}omega^{2}t^{alpha})}$$
例5: (C) 初边值问题
$$_{0}^{C}D_{t}^{alpha}u(x,t)=lambda^{2}frac{partial ^{2}u(x,t)}{partial x^{2}} (0<alpha<1,t>0,-infty<x<+infty)$$
$$lim_{x o infty} u(x,t)=0,u(x,t)|_{t=0}=varphi(x)$$
解: 对方程空间变量两边取Fourier变换
$$_{0}D_{t}^{alpha}u(omega,t)+lambda^{2}omega^{2}u(omega,t)=0$$
$$u(omega,t)|_{t=0}=varphi(omega)$$
对上述方程时间变量两边取Laplace变换
$$s^{alpha}u(omega,s)-s^{alpha-1}varphi(w)+lambda^{2}omega^{2}u(omega,s)=0$$
整理得
$$u(omega,s)=frac{s^{alpha-1}}{s^{alpha}+lambda^{2}omega^2}varphi(omega)$$
然后对上述方程取Laplace逆变换得
$$u(omega,t)=varphi(w)E_{alpha,1}(-lambda^{2}omega^{2}t^{alpha})$$
对上式再采取Fourier逆变换得
$$u(x,t)=varphi(x) ast mathscr{F}^{-1}{E_{alpha,1}(-lambda^{2}omega^{2}t^{alpha})}$$
例6: Bagley和Torvik提出分数阶微分方程
$$Ay''(t)+B _{0}^{RL}D_{t}^{3/2}y(t)+C y(t)=f(t)$$
解: 两边取Laplace变换则有
$$A [s^{2} Y(s)-sy(0)-y'(0)]+B [s^{3/2}Y(s)-s^{0}D^{1/2}y(0)-sD^{-1/2}y(0)]+CY(s)=F(s)$$
所涉及到的初值均为0，整理得
$$Y(s)=frac{F(s)}{A s^{2}+B s^{3/2}+C}$$
同样可用 Mellin变换解分数阶初值问题，用变换解方程的思想都是将微分方程转换为代数方程，代数方程较好求解，然后利用逆变换得到原方程的解.可能用到的特殊函数还有Wright 函数和 Fox函数.
Wright函数:
$$W_{alpha,eta}(z)=sum_{k=0}^{infty}frac{z^{k}}{k!Gamma(alpha k+eta)}$$
Fox函数:
$$H_{p,q}^{m,n}[z|_{(a_{1},A_{1}),cdots ,(a_{p},A_{p})}^{(b_{1},B_1),cdots ,(b_p,B_p)}]=frac{1}{2pi i}int_{L}mathscr{H}_{p,q}^{m,n}(s)z^{s}ds$$
其中
$$mathscr{H}_{p,q}^{m,n}(s)=frac{prod_{k=1}^{m}Gamma(b_{k}-B_{k}s)prod_{j=1}^{n}Gamma(1-a_{j}+A_{j}s)}{prod_{k=m+1}^{q}Gamma(1-b_{k}+B_{k}s)
prod_{j=n+1}^{p}Gamma(b_{k}+B_{k}s)}$$
Green函数法
幂级数法
Sturm-Liouville问题
Fourier级数波解
解的性态研究 古典解、弱解、强解的存在性、唯一性（一般使用不动点原理）稳定性，解的渐进行为等。
常用的最基本工具：
(Banach) 完备的度量空间的压缩映射有唯一的不动点。
(Banach) 度量空间 $R$完备，$B$是$R$到$R$映射，若有$B^{n}$是$R$上的压缩映射,则$B$在$R$中有唯一的不动点。
(schauder) 设$R$是赋范线性空间，$A$是$R$中凸紧集，$f$是$A$到$A$的连续映射，那么$f(x)$在$A$中有不动点。
(schauder) 设$X$是Banach空间,$S$是空间$S$的凸闭集，$f$是$S$到$S$的连续映射且$f(S)$致密, 那么$f(x)$在$S$中有不动点。
(Lax-Milgram) 设$a(x,y)$是Hilbert空间H上的共轭双线性函数,满足
(1)相容性，$exists M>0$,使得$|a(x,y)|leq M |x||y|$
(2)正定性，$exists delta>0$,使得$|a(x,y)|geq delta |x|^{2}$
那么必存在唯一的有连续逆的连续线性算子$Ain L(H)$满足
$$a(x,y)=(x,Ay),mbox{且}||A^{-1}||leq frac{1}{delta}$$
能量不等式
极值原理(复旦大学程晋教授)
当前研究热点的分数阶偏微分方程有:
数值解，算法的研究(国内厦门大学、上海大学等)
由于分数阶导数具有历史依赖性和全域相关性，从而增加了数值计算的复杂性，分数阶微分方程其实是微分- 积分方程或积分-微分方程，使得整数阶时的一些数值格式失效。目前主要方法有级数逼近法、变分迭代法、有限差分法等。具体的可参看郭柏灵院士所著的《分数阶偏微分方程及其数值解》。