我们重点考察$R-L$型分数阶微积分的性质，简记${}_{0}^{RL}D_{t}^{eta}=D_{t}^{eta}$，若无特殊说明。
a). 线性性
$$D_{t}^{eta}[f(t)+g(t)]=D_{t}^{eta}f(t)+D_{t}^{eta}g(t)$$
$$D_{t}^{eta}lambda f(t)=lambda D_{t}^{eta}f(t) $$
证明:直接带入定义验算即可.设$m=[eta]+1$
$${}_{0}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)=frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m}}{dt^{m}}int_{0}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au$$
b). 积分的叠加性
$$D_{t}^{-alpha}D_{t}^{-eta}f(t)=D_{t}^{-alpha-eta}f(t) (alpha,eta>0)$$
证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L积分仍然具有叠加性。
由定义知
$${}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)=frac{1}{Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{eta-1}f(x):=g(t)$$
那么
egin{eqnarray*}
{}_{0}^{}D_{t}^{-alpha}g(t)&=&frac{1}{Gamma(alpha)}int_{0}^{t}(t- au)^{alpha-1}g( au) d au\
&=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t- au)^{alpha-1}d au int_{0}^{ au}( au-x)^{eta-1}f(x)dx\
&=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}f(x)dx int_{x}^{t}(t- au)^{alpha-1}( au-x)^{eta-1}d au(交换积分次序)\
&=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}f(x)dxint_{0}^{1}(t-x)^{alpha+eta-1}(1-xi)^{alpha-1}xi ^{eta-1}dxi (Let xi=frac{ au-x}{t-x})\
&=&frac{B(alpha,eta)}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{alpha+eta-1}f(x)dx\
&=&frac{1}{Gamma(alpha+eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{alpha+eta-1}f(x)dx\
&=&{}_{0}D_{t}^{-alpha-eta}f(t)
end{eqnarray*}
由此我们也得到了积分满足交换性，即
$$D_{t}^{-alpha}D_{t}^{-eta}f(t)=D_{t}^{-alpha-eta}f(t)=D_{t}^{-eta}D_{t}^{-alpha}f(t) (alpha,eta>0)$$
c). 上式考虑了积分叠加的情形，对于连续函数$f(t)$考虑混合运算“先积分再微分”.（还记得R-L定义思路$D^{eta}=D^{m}D^{-(m-eta)}$）
$${}_{0}^{}D_{t}^{alpha}{}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)={}_{0}^{}D_{t}^{alpha-eta}f(t) (alpha>0,eta>0)$$
证明:先探讨一种特殊的情形
$$D^{lambda}D^{-lambda}f(t)=f(t) (lambda>0)$$
当$lambda$为整数时结论显然成立。不妨设$k-1 leq lambda<k$,即$k=[lambda]+1$.故由定义有
$$D^{lambda}=D^{k}D^{-(k-lambda)}$$
代入下式
$$D^{lambda}D^{-lambda}=D^{k}D^{-(k-lambda)}D^{-lambda}=D^{k}D^{-k}=I (use b).)$$
$ullet$若$alpha<eta$,记$m=[alpha]+1,n=[alpha-eta]+1$，则
egin{eqnarray*}
D^{alpha}D^{-eta}f(t)&=&D^{m}D^{-m-alpha}D^{-eta}f(t)
&=&D^{m}D^{-(m-alpha+eta)}f(t)\
&=&D^{m}D^{-m}D^{-(eta-alpha)}f(t)\
&=&D^{alpha-eta}f(t)\
end{eqnarray*}
$ullet$若$alpha>eta$,则
egin{eqnarray*}
D^{alpha}D^{-eta}f(t)&=&D^{m}D^{-m-alpha}D^{-eta}f(t)\
&=&D^{m}D^{-(m-alpha+eta)}f(t)\
&=&D^{n}D^{m-n}D^{-(eta-alpha)}f(t)\
&=&D^{n}D^{-[n-(alpha-eta)]}\
&=&D^{alpha-eta}f(t)\
end{eqnarray*}
综上有
$${}_{0}^{}D_{t}^{alpha}{}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)={}_{0}^{}D_{t}^{alpha-eta}f(t) (alpha>0,eta>0)$$
d). 我们前面讲了一般$D^{alpha}D^{-eta}f(t)
eq D^{-eta}D^{-alpha}f(t)$,也就是说积分算子与微分算子的交换性并不总是成立的，在经典的微积分里同样要满足一些特定的条件。
例如$f(x)equiv C$
先微分再积分：
$$D^{-1}Df(x)=0$$
先积分再微分：
$$DD^{-1}f(x)=C$$
下面我们研究混合运算中的“先微分再积分”情形，即$D^{-eta}D^{alpha},(eta>0,alpha>0)$形式.
首先,我们有结论:
$$D^{-lambda}D^{lambda}f(t)=f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+1)}t^{lambda-j}$$
证明:回忆当$f(x,y)$满足连续性条件且可微时
$$frac{d}{dx}int_{a}^{b}f(x,y)dy=int_{a}^{b}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
$$frac{d}{dx}int_{alpha (x)}^{eta(x)}f(x,y)dy=f(x,eta(x))eta'(x)-f(x,alpha(x))alpha'(x)+int_{alpha(x)}^{eta(x)}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
特殊地，
$$frac{d}{dx}int_{0}^{x}f(x,y)dy=f(x,x)+int_{0}^{x}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
设$g(t, au)=(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)$, 则$g( au, au)=0$
$$frac{partial g}{partial t}=lambda (t- au)^{lambda -1}D^{lambda}f( au)$$
所以
egin{eqnarray*}
D^{-lambda}D^{lambda}f(t)&=&frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda}f( au)d au\
&=&frac{1}{Gamma(lambda+1)}frac{d}{dt}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)d au\
end{eqnarray*}
注意上式中不能轻易使用分部积分法，因为尚未验证分数阶微分是否具有叠加性。
不妨设$m-1 leq lambda <m$,即$m=[lambda]+1$,由定义和$ c).$知
egin{eqnarray*}
frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)d au&=&
frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{m}D^{-(m-lambda)}f( au)d au\
&=&frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}dD^{m-1}D^{-(m-lambda)}f( au)\
&=&frac{D^{lambda-1}f( au)}{Gamma(lambda+1)}(t- au)^{lambda}|_{0}^{t}
+frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda-1}f( au)d au\
&=&frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda-1}f( au)d au-frac{D^{lambda-1 }f(0)}{Gamma(lambda+1)}t^{lambda}\
&=&frac{1}{Gamma(lambda-1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-2}D^{lambda-2}f( au)d au-frac{D^{lambda -2}f(0)}{Gamma(lambda)}t^{lambda-1}-frac{D^{lambda-1}f(0)}{Gamma(lambda+1)}t^{lambda}\
&=&cdots cdots cdots \
&=&frac{1}{Gamma(lambda-m+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-m}D^{-m-lambda}f( au)d au-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
&=&D^{-(lambda-m+1)}D^{-(m-lambda)}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
&=&D_{t}^{-1}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
end{eqnarray*}
故
egin{eqnarray*}
D^{-lambda}D^{lambda}f(t)&=&frac{d}{dt}[D_{t}^{-1}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}]\
&=&f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+1)}t^{lambda-j}\
end{eqnarray*}
下面我们考虑$D^{-eta}D^{alpha},(eta>0,alpha>0)$形式.
$ullet$若$eta leq alpha ,$则
egin{eqnarray*}
D^{-eta}D^{alpha}f(t)&=&D^{alpha-eta}D^{-(alpha-eta)}D^{-eta}D^{alpha}f(t)\
&=&D^{alpha-eta}D^{-alpha}D^{alpha}f(t) (use b). )\
&=&D^{alpha-eta}[f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}t^{alpha-j}]\
&=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}D^{alpha-eta}t^{alpha-j}\
&=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}\
end{eqnarray*}
$ullet$若$eta>alpha$,则
egin{eqnarray*}
D^{-eta}D^{alpha}f(t)&=&D^{-(eta-alpha)}D^{-alpha}D^{alpha}f(t)\
&=&D^{-(eta-alpha)}[f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}t^{alpha-j}]\
&=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}D^{-(eta-alpha)}t^{alpha-j}\
&=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}\
end{eqnarray*}
总而言之
$$D^{-eta}D^{alpha}f(t)=D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}$$
e). 前面我们讨论了积分叠加的情形和“先积分再求导”和“先求导再积分”的情形，现在我们考虑微分是否具有叠加性，即
$$D^{eta}D^{alpha}f(t)=D^{eta+alpha}f(t) (alpha>0,eta>0) ( extbf{?})$$
一般结论并不是总成立的，例如$f(t)=1$,则有
$$D^{eta}Df(t)=0$$
$$DD^{eta}f(t)=Dfrac{t^{-eta}}{Gamma(1-eta)}=-eta frac{t^{-eta-1}}{Gamma(1-eta)}
eq 0$$
设$n-1leq eta <n$即$n=[eta]+1$利用$ d). $ 可得
$$D^{eta}D^{alpha}=D^{n}D^{-(n-eta)}D^{a}=D^{n}[D^{alpha+eta-n}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(n-eta-j+1)}t^{n-eta-j}]$$
f ). 回忆
二项式定理
$$(f(x)+g(x))^{n}=C_{n}^{k}f^{n-k}(x)g^{k}(x)$$
Leibnitz公式
$$(f(x)g(x))^{(n)}=C_{n}^{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$$
分数阶R-L积分的Leibniz公式为
$$D^{-
u}[f(x)+g(x)]=sum_{k=0}^{infty}C_{-
u}^{k}D^{k}g(x)D^{-
u-k}f(x)$$
证明：根据定义有
$$D^{-
u}f(x)g(x)=frac{1}{Gamma(
u)}int_{0}^{x}(x- au)^{
u-1}f( au)g( au)d au$$
将$g( au)$在$ au=x$处展成$Taloy$公式
$$g( au)=g(x)+sum_{k=1}^{infty}frac{D^{k}g(x)}{k!}( au-x)^k$$
代入定义式得
egin{eqnarray*}
D^{-
u}f(x)g(x)&=&frac{1}{Gamma(
u)}g(x)int_{0}^{x}(x- au)^{
u-1}f( au)d au+
sum_{k=1}^{infty}frac{D^{k}g(x)}{k!}frac{(-1)^{k}}{Gamma(
u)}int_{0}^{x}(x- au)^{k+
u-1}f( au)d au \
&=&g(x)D^{-
u}f(x)+sum_{k=1}^{infty}C_{-
u}^{k}D^{k}g(x)D^{-
u-k}f(x)\
&=&sum_{k=0}^{infty}C_{-
u}^{k}D^{k}g(x)D^{-
u-k}f(x)
end{eqnarray*}
其中$$C_{-
u}^{k}=frac{(-1)^kGamma(k+
u)}{k!Gamma(
u)}$$.
再根据分数阶导数定义可得到分数阶导数的Leibniz公式
egin{eqnarray*}
D^{
u}f(x)g(x)&=&D^{m}D^{-(m-
u)}f(x)g(x)\
&=&D^{m}[sum_{k=0}^{infty}C_{
u-m}^{k}D^{k}g(x)D^{
u-m-k}f(x)]
end{eqnarray*}
g ). R-L型分数阶导数与Caputo型导数的关系
一般两者并不相同,但在下面定理的条件下两者等价。
定理：若$f(t)$具有$m$阶连续导（$m=[eta]+1$），且$f^{k}(a)=0 (k=0,1,2,cdots,m-1)$,则有
$$_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)=_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)$$
证明：反复利用分部积分可得
egin{eqnarray*}
{}_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)&=&frac{1}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f^{(m)}( au)d au\
&=&frac{(m-eta-1)(m-eta-2)cdots (-eta)}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{-eta-1}f( au)d au\
end{eqnarray*}
另一方面反复利用
$$frac{d}{dt}int_{a}^{t}f(t, au)d au=f(t,t)+int_{a}^{t}frac{partial f}{partial x}$$
egin{eqnarray*}
{}_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)&=&frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m}}{dt^{m}}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au\
&=&frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}frac{d}{dt}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au\
&=&frac{m-eta-1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-2}f( au)d au\
&=&cdots cdots cdots \
&=&frac{(m-eta-1)(m-eta-2)cdots (-eta)}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{-eta-1}f( au)d au\
end{eqnarray*}
所以此时
$${}_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)={}_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)$$
h ).分数阶导数与整数阶导数的关系
评注：分数阶导数是整数阶导数的推广，然而这种推广并不是唯一的，历史上出现了多种版本的分数阶导数，例如$R_L$ 型、$Caputo$型、$Resiz$ 型等各个版本计算结果都不尽相同，都有独立的应用，$Mill$ 和$Ross$ 在此基础上提出了序列微积分的概念在形式上统一了分数阶微积分。
i). 序列分数阶导数实际上是基于观察所得出的定义，对整数阶的导数有
$$D^{n}f(t)=DDD cdots Df(t)$$
推广到更一般的形式
$$D^{a}f(t)=D^{alpha_{1}}D^{alpha_{2}}cdots D^{alpha_{n}}f(t)$$
其中$alpha=alpha_{1}+alpha_{2}+ cdots + alpha_{n}$.
从上面的形式可以看到分解并不是唯一的
当分解形式是
$$ D^{alpha}=D^{n}D^{-(n-alpha)}$$
为$Riemann-Liouville$型分数阶导数.
当分解形式是
$$ D^{alpha}=D^{-(n-p)}D^{n}$$
为$Caputo$型分数阶导数.
j ). Remark: 利用卷积工具可推广到广义函数的分数阶导数,经典分析理论到近代分析跨越.