证明 [sum_{n=0}^{infty}frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=pi]
分析：这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决，由分子分母的特性易想到 $Gamma$函数然后利用$Gamma$函数与$eta$函数的关系即可。
Proof：
egin{align*}sum_{n=0}^{infty}frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=sum_{n=0}^{infty}int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\&=2int_{0}^{1}sum_{0}^{infty}t^{n}(1-t)^{n}2^{n}dt\&=int_{0}^{1}frac{1}{(t-frac{1}{2})^{2}+frac{1}{4}}dt\&=2 arctan2(t-frac{1}{2})|_{0}^{1}\&=piend{align*}
Remark：交换积分与极限的次序用到了 Levi 渐升定理。