题目
题解
又是一个简(e)单(xin)题,思路不难想,但是证明是真的难啊,不过yxc的视频讲解也是真的好啊。
我的思路是对于(r)从小到大排序,然后对于防晒霜也从小到大排序,然后对于目前的防晒霜看看有没有区间包括它的,包括就选。(优先选(r)小的)
当然,题解大量的思路都是(l)递减,然后看看这个区间有没有防晒霜,有优先选(SPF)值大的。
为什么是对的呢?(下面都按照大多数人的思想走)
一个比较形象的思路就是:由于(l)递减,(SPF)越大的防晒霜在后面选择会越来越少,所以优先选大的,而且对于(x,y(SPF[x]<SPF[y]))防晒霜而言,后面如果覆盖了(y)号防晒霜那也肯定覆盖了(x)号防晒霜,所以选(SPF)最大的防晒霜是最优的。
那么严谨的证明是什么呢?
我们把问题化成二分图匹配的问题,然后证明我们这样子做没有增广路径就行了(不懂的看视频或者上网看),而对于(cover[i]),我们就认为有(cover[i])个这样的点就行了。
(c_i)表示第(i)头牛,(s_i)表示第(i)个防晒霜,那么如果存在增广路径的话,我们找到其中的一条最短的增广路径(注:(a_i)仅仅表示第(i)个点的下标,并无实际意义):
(s_{a_{0}}→c_{a_{1}}→s_{a_{2}}→...→c_{a_k})
那么可以说明(c_{a_{0}})和(s_{a_k})是没有匹配过的点。
考虑一下(SPF[a_0])和(SPF[a_2])的大小关系,(c_{a_1})包括这两个防晒霜,根据算法大的优先,所以(SPF[a_0]≤SPF[a_2])。
接下来我们再来研究一下(a_1)和(a_3)的大小关系。
有没有可能(a_1<a_3)?
也就是说我们的(s_{a_2})跑去找了后面的牛。
由于的大优先,这样的话下面那个蓝色的防晒霜也就是(SPF[a_4])肯定也是大于(SPF[a_0]),那这样子的话为什么不直接让(s_{a_0})去占(s_{a_4})的位置把(s_{a_4})弹出啊,这样还能少两个点:(s_{a_2})和(c_{a_1}),这样就违反了我们最小增广路径的设定了。
所以(a_1>a_3)。
而后面的也可以像这样子无限推下去,知道(a_k=1),等会!(1)号牛没有匹配?可是(1)号牛优先级最高啊,矛盾,所以不成立。
还有人问有没有可能是(c_{a_{0}}→s_{a_{1}}→c_{a_{2}}→...→s_{a_k})这样子的最短增广路径呢,但是由于前面的优先级比后面的优先级高,所以(a_0)不可能小于(a_2),所以(a_0>a_2)。抢完之后呢,(c_{a_2})就十分的迷茫了,它要找那个防晒霜呢,假设找到了(x)号防晒霜,(SPF[x]<SPF[a_2]),那么肯定是被是被([a_2+1,a_0-1])的牛给匹配了(不然(a_0)就会匹配到(x)),那么这样,我们我们可以直接让(c_{a_0})直接去抢(c_{a_4})的啊,这样还能少(a_1)和(a_2)呢,又违反了最短,而如果(SPF[x]≥SPF[a_2]),确实可以成立,但是又跟上面第一个证明一样,这两条结论一成立,无限推下去知道找到(1)号牛,矛盾。
所以是对的。
巧妙的把贪心化成二分匹配进行证明,妙啊。
当然我的思路其实是和它差不多的,所以也可以认为是对的。
代码
时间复杂度:(O(n^2+m))。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 3100
using namespace std;
struct node
{
int x,y;
}a[N],b[N];int n,m;
bool v[N];
inline bool cmp1(node x,node y){return x.y==y.y?(x.x<y.x):(x.y<y.y);}
inline bool cmp2(node x,node y){return x.x<y.x;}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
sort(a+1,a+n+1,cmp1);
sort(b+1,b+m+1,cmp2);
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int k=1;k<=b[i].y;k++)
{
bool bk=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!v[j] && a[j].x<=b[i].x && a[j].y>=b[i].x)
{
v[j]=1;
ans++;
bk=1;
break;
}
}
if(!bk)break;
}
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}
最后
这里说一下,其实找到区间内的最小的数字或者找数字可以匹配的(r)最小的区间编号是可以直接用权值线段树的,懒得打了,是可以优化到(O(nlogn))。
当然也可以用https://www.acwing.com/solution/content/785/所用的二分法来找,也是(O(nlogn))的。