P3628 [APIO2010]特别行动队(斜率dp)

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如 $x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=xi+xi+1+...+xi+k。$

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公式修正为 $ax^2+bx+cx′:x′=ax2+bx+c，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。$

例如，你有 4 名士兵， $x1=2,x2=2,x3=3,x4=4x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。$

输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 $x1,x2,…,xnx_1, x_2, …, x_nx1,x2,…,xn，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。$

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4

输出样例#1：复制

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

推一下式子，发现是斜率的形式

比较队列前两个的斜率和当前斜率的关系

计算 dp now

比较队尾和i的斜率，队尾的前一个和i的斜率，判断是否要删除队尾

 1 #include"iostream"
 2 using namespace std;
 3 #define int long long
 4 
 5 const int N = 1000010;
 6 int a[N];
 7 int sum[N];
 8 int n;
 9 int A,B,C;
10 int q[2*N];
11 int l,r;
12 int dp[N];
13 
14 double YY(int x)
15 {
16     return A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x]+dp[x];
17 }
18 double XX(int x)
19 {
20     return sum[x];
21 }
22 double T(int x)
23 {
24     return A*sum[x]*sum[x]+B*sum[x]+C;
25 }
26 double slope(int x,int y)
27 {
28     return (YY(y)-YY(x))/(XX(y)-XX(x));
29 }
30 int cal(int x,int now)
31 {
32     return A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x]+dp[x] +T(now) - 2*A*sum[now]*sum[x];
33 }
34 signed main()
35 {
36     cin>>n;
37     cin>>A>>B>>C;
38     for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],sum[i]=sum[i-1]+a[i];
39     l=r=1;
40     for(int i=1;i<=n;i++)
41     {
42         while(r-l+1>=2&&slope(q[l],q[l+1])>2*A*sum[i])l++;
43         dp[i]=cal(q[l],i);
44         while(r-l+1>=2&&slope(q[r-1],i)>slope(q[r],q[r-1]))r--;
45         q[++r]=i;
46 
47     }
48     cout<<dp[n]<<endl;
49 
50 }