设$M$是Hardy-Littlewood极大算子, 关于它的应用, 我们在课程上详细讲过, 这里做个总结, 主要集中在如下几个方面:
1. 点态极限的极大函数办法(例如Lebesgue微分定理)
2. 点态估计($M$可以用来控制一大类"平均"算子, 例如卷积型算子)
\[|f(x)|\leq Mf(x), \quad a.e. x\in \mathbf{R}^n; \qquad \|Mf\|_p\sim \|f\|_p, 1<p\leq \infty.\]
3. 与二进制分解算子的搭配使用, 可以使得在逐点估计中能得到精细的估计, 例如分数次微积分(分数次链式法则, 分数次Leibniz法则)
事实上, $M$的应用还有很多, 可以参考Stein的书(非切向极限, 刻划Hardy空间$H^1$); 也可参考Tao的讲义 Math247A, Math247B, 给出了在遍历论中的应用.