问题：向量值极大函数的界与维数的关系

Hardy-Littlewood极大算子M定义如下

\[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{|Q(x,r)|}\int_{Q(x,r)}|f(y)|dy.\]

其基本性质

1) $\|{Mf}\|_p\leq C_{p,n} \|{f}\|_p$, $p\in (1,\infty)$;

2) $\|{Mf}\|_{1,\infty}\leq C_{1,n} \|{f}\|_1$.

现在知道, 当$p>1$时, $C_{p,n}$与维数$n$无关, 而$C_{1,n}\to \infty$, 当$n\to \infty$.

对于向量值极大算子$\bar M$定义如下

\[\bar Mf(x)=\|{Mf_j}\|_{l^2_j}, \quad f=\{f_j\}, |f(x)|=\|{f_j(x)}\|_{l_j^2}.\]

我们有

1) $\|{\bar Mf}\|_p\leq A_{p,n} \|{f}\|_p$, $p\in (1,\infty)$;

2) $\|{\bar Mf}\|_{1,\infty}\leq A_{1,n} \|{f}\|_1$.

问题: 是否成立,  当$p>1$时, $A_{p,n}$与维数$n$无关?