通过前面的学习，我们知道，有序数组能够利用二分查找法高速的查找特定的值，时间复杂度为O(log2N)，可是插入数据时非常慢，时间复杂度为O(N)；链表的插入和删除速度都非常快，时间复杂度为O(1)，可是查找特定值非常慢，时间复杂度为O(N)。
那么，有没有一种数据结构既能像有序数组那样高速的查找数据，又能像链表那样高速的插入数据呢？树就能满足这样的要求。只是依旧是以算法的复杂度为代价
在编程的世界里，有一个真理叫“复杂度守恒定律”（当然，这是我杜撰的），一个程序当它减少了一个方面的复杂度，必定会在其它方面添加复杂度。这就跟谈恋爱一样，也没有无缘无故的爱，没有无缘无故的恨，当你跟程序谈恋爱时，没有无缘无故的易用性，也没有无缘无故的复杂度
树的相关概念
我们先从广义上来讨论一下树的概念
树事实上是范畴更广的图的特例
以下是一个普通的非二叉树
在程序中，节点一般用来表示实体，也就是数据结构里存储的那些数据项，在java这种面向对象的编程语言中，经常使用节点来表示对象
节点间的边表示关联节点间的路径，沿着路径，从一个节点到还有一个节点非常easy，也非常快，在树中，从一个节点到还有一个节点的唯一方法就是顺着边前进。java语言中，经常使用引用来表示边（C/C++中一般使用指针）
树的顶层总是仅仅有一个节点，它通过边连接到第二层的多个节点，然后第二层也能够通过边连接到第三层，以此类推。所以树的顶部小，底部大，呈倒金字塔型，这和现实世界中的树是相反的
假设树的每一个节点最多有两个子节点，则称为二叉树。假设节点的子节点能够多余两个，称为多路树
有非常多关于树的术语，在这里不做过多的文字解释，以下给出一个图例，通过它能够直观地理解树的路径、根、父节点、子节点、叶节点、子树、层等概念
须要注意的是，从树的根到随意节点有且仅仅有一条路径能够到达，下图所看到的就不是一棵树，它违背了这一原则
二叉搜索树
我们从一种特殊的、使用非常广泛的二叉树入手：二叉搜索树。
二叉搜索树的特点是，一个节点的左子节点的keyword值小于这个节点，右子节点的keyword值大于或等于这个父节点。下图就是一个二叉搜索树的演示样例：
关于树，另一个平衡树与非平衡树的概念。非平衡就是说树的大部分节点在根的一边，例如以下图所看到的：
树的不平衡是由数据项插入的顺序造成的。假设keyword是随机插入的，树会更趋向于平衡，假设插入顺序是升序或者降序，则全部的值都是右子节点或左子节点，这样生成的树就会不平衡了。非平衡树的效率会严重退化
接下来我们就用java语言实现一个二叉搜索树，并给出查找、插入、遍历、删除节点的方法
首先要有一个封装节点的类，这个类包括节点的数据以及它的左子节点和右子节点的引用
//树节点的封装类 public class Node { int age; String name; Node leftChild; //左子节点的引用 Node rightChild; //右子节点的引用 public Node(int age,String name){ this.age = age; this.name = name; } //打印该节点的信息 public void displayNode(){ System.out.println("name:"+name+",age:"+age); } }
以上age，name两个属性用来代表该节点存储的信息，更好的方法是将这些属性封装成一个对象，比如：
Person{ private int age; private String name; public void setAge(int age){ this.age = age; } public int getAge(){ return this.age; } public void setName(String name){ this.name = name; } public String getName(){ return this.name; } }
这样做才更符合“面向对象”的编程思想。只是如今我们的重点是数据结构而非编程思想，所以在程序中简化了因为树的结构和算法相对复杂，我们先逐步分析一下查找、插入等操作的思路，然后再写出整个的java类
查找
我们已经知道，二叉搜索树的特点是左子节点小于父节点，右子节点大于或等于父节点。查找某个节点时，先从根节点入手，假设该元素值小于根节点，则转向左子节点，否则转向右子节点，以此类推，直到找到该节点，或者到最后一个叶子节点依旧没有找到，则证明树中没有该节点
比方我们要在树中查找57，运行的搜索路线例如以下图所看到的：
插入
插入一个新节点首先要确定插入的位置，这个过程类似于查找一个不存在的节点。例如以下图所看到的：
找到要插入的位置之后，将父节点的左子节点或者右子节点指向新节点就可以
遍历
遍历的意思是依据一种特定顺序訪问树的每个节点
有三种简单的方法遍历树：前序遍历、中序遍历、后序遍历。二叉搜索树最经常使用的方法是中序遍历，中序遍历二叉搜索树会使全部的节点按keyword升序被訪问到
遍历树最简单的方法是递归。用该方法时，仅仅须要做三件事（初始化时这个节点是根）：
1、调用自身来遍历节点的左子树
2、訪问这个节点
3、调用自身来遍历节点的右子树
遍历能够应用于不论什么二叉树，而不仅仅是二叉搜索树。遍历的节点并不关心节点的keyword值，它仅仅看这个节点是否有子节点
下图展示了中序遍历的过程：
对于每一个节点来说，都是先訪问它的左子节点，然后訪问自己，然后在訪问右子节点
假设是前序遍历呢？就是先訪问父节点，然后左子节点，最后右子节点；同理，后序遍历就是先訪问左子节点，在訪问右子节点，最后訪问父节点。所谓的前序、中序、后序是针对父节点的訪问顺序而言的
查找最值
在二叉搜索树中，查找最大值、最小是是非常easy实现的，从根循环訪问左子节点，直到该节点没有左子节点为止，该节点就是最小值；从根循环訪问右子节点，直到该节点没有右子节点为止，该节点就是最大值
下图就展示了查找最小值的过程：
删除节点
树的删除节点操作是最复杂的一项操作。该操作须要考虑三种情况考虑：
1、该节点没有子节点
2、该节点有一个子节点
3、该节点有两个子节点
第一种没有子节点的情况非常easy，仅仅需将父节点指向它的引用设置为null就可以：
另外一种情况也不是非常难，这个节点有两个连接须要处理：父节点指向它的引用和它指向子节点的引用。不管要删除的节点以下有多复杂的子树，仅仅须要将它的子树上移：
另一种特殊情况须要考虑，就是要删除的是根节点，这时就须要把它唯一的子节点设置成根节点
以下来看最复杂的第三种情况：要删除的节点由连个子节点。显然，这时候不能简单地将子节点上移，由于该节点有两个节点，右子节点上移之后，该右子节点的左子节点和右子节点又怎么安排呢？
这是应该想起，二叉搜索树是依照关键升序排列，对每个keyword来说，比它keyword值高的节点是它的中序后继，简称后继。删除有两个子节点的节点，应该用它的中序后继来替代该节点
上图中，我们先列出中序遍历的顺序：
5 15 20 25 30 35 40
能够看到，25的后继是35，所以应该用30来替代25的位置。实际上就是找到比欲删除节点的keyword值大的集合中的最小值。从树的结构上来说，就是从欲删除节点的右子节点開始，依次跳到下一层的左子节点，直到该左子节点没有左子节点为止。下图就是找后继节点的演示样例：
从上图中能够看到，后集结点有两种情况：一种是欲删除节点的右子节点没有左子节点，那么它本身就是后继节点，此时，仅仅须要将以此后继节点为根的子树移到欲删除节点的位置：
还有一种情况是欲删除节点的右子节点有左子节点，这样的情况就比較复杂，以下来逐步分析。首先应该意识到，后继节点是肯定没有左子节点的，可是可能会有右子节点
上图中，75为欲删除节点，77为它的后继节点，树变化的过程例如以下：
1、把87的左子节点设置为79；
2、把77的右子节点设为以87为根的子树；
3、把50的右子节点设置为以77为根的子树；
4、把77的左子节点设置为62
到此为止，删除操作最终分析完成，包括了全部可能出现的情况。可见，二叉树的删除是一件很棘手的工作，那么我们就该反思了，删除是必需要做的任务吗？有没有一种方法避开这样的烦人的操作？有困难要上，没有困难创造困难也要上的二货精神是不能提倡的
在删除操作不是非常多的情况下，能够在节点类中添加一个布尔字段，来作为该节点是否已删除的标志。在进行其它操作，比方查找时，之前对该节点是否已删除进行推断。这样的思路有点逃避责任，可是在非常多时候还是非常管用的。本例中为了更好的深入理解二叉树，会採用原始的、复杂的删除方法
以下我们就依据上面的分析，写出一个完整的二叉搜索树类，该类中，假设有反复值，插入到右子节点，查找时也仅仅返回第一个找到的节点
import java.util.ArrayList; import java.util.List; //二叉搜索树的封装类 public class BinaryTree { private Node root; //根节点 public BinaryTree(){ root = null; } //按keyword查找节点 public Node find(int key){ Node cur = root; //从根节点開始查找 if(cur == null){ //假设树为空，直接返回null return null; } while(cur.age != key){ if(cur.age < key){ cur = cur.leftChild; //假设keyword比当前节点小，转向左子节点 }else{ cur = cur.leftChild; //假设keyword比当前节点大，转向右子节点 } if(cur == null){ //没有找到结果，搜索结束 return null; } } return cur; } //插入新节点 public void insert(Node node){ if(root == null){ root = node; //假设树为空，则新插入的节点为根节点 }else{ Node cur = root; while(true){ if(node.age < cur.age){ if(cur.leftChild == null){ //找到了要插入节点的父节点 cur.leftChild = node; return; } cur = cur.leftChild; }else{ if(cur.rightChild == null){ //找到了要插入节点的父节点 cur.rightChild = node; return; } cur = cur.rightChild; } } } } //删除指定节点 public boolean delete(Node node){ if(root == null){ return false; //假设为空树，直接返回false } boolean isLeftChild = true; //记录目标节点是否为父节点的左子节点 Node cur= root; //要删除的节点 Node parent = null; //要删除节点的父节点 while(cur.age != node.age){ //确定要删除节点和它的父节点 parent = cur; if(node.age < cur.age){ //目标节点小于当前节点，跳转左子节点 cur = cur.leftChild; }else{//目标节点大于当前节点，跳转右子节点 isLeftChild = false; cur = cur.rightChild; } if(cur == null){ return false; //没有找到要删除的节点 } } if(cur.leftChild == null && cur.rightChild == null){ //目标节点为叶子节点（无子节点） if(cur == root){ //要删除的为根节点 root = null; }else if(isLeftChild){ //要删除的不是根节点，则该节点肯定有父节点，该节点删除后，须要将父节点指向它的引用置空 parent.leftChild = null; }else{ parent.rightChild = null; } }else if(cur.leftChild == null){ //仅仅有一个右子节点 if(cur == root){ root = cur.rightChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = cur.rightChild; }else{ parent.rightChild = cur.rightChild; } }else if(cur.rightChild == null){ //仅仅有一个左子节点 if(cur == root){ root = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = cur.leftChild; } }else{ //有两个子节点 //第一步要找到欲删除节点的后继节点 Node successor = cur.rightChild; Node successorParent = null; while(successor.leftChild != null){ successorParent = successor; successor = successor.leftChild; } //欲删除节点的右子节点就是它的后继，证明该后继无左子节点，则将以后继节点为根的子树上移就可以 if(successorParent == null){ if(cur == root){ //要删除的为根节点，则将后继设置为根，且根的左子节点设置为欲删除节点的做左子节点 root = successor; root.leftChild = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; } }else{ //欲删除节点的后继不是它的右子节点 successorParent.leftChild = successor.rightChild; successor.rightChild = cur.rightChild; if(cur == root){ root = successor; root.leftChild = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; } } } return true; } public static final int PREORDER = 1; //前序遍历 public static final int INORDER = 2; //中序遍历 public static final int POSTORDER = 3; //中序遍历 //遍历 public void traverse(int type){ switch(type){ case 1: System.out.print("前序遍历： "); preorder(root); System.out.println(); break; case 2: System.out.print("中序遍历： "); inorder(root); System.out.println(); break; case 3: System.out.print("后序遍历： "); postorder(root); System.out.println(); break; } } //前序遍历 public void preorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ System.out.print(currentRoot.age+" "); preorder(currentRoot.leftChild); preorder(currentRoot.rightChild); } } //中序遍历，这三种遍历都用了迭代的思想 public void inorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ inorder(currentRoot.leftChild); //先对当前节点的左子树对进行中序遍历 System.out.print(currentRoot.age+" "); //然后訪问当前节点 inorder(currentRoot.rightChild); //最后对当前节点的右子树对进行中序遍历 } } //后序遍历 public void postorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ postorder(currentRoot.leftChild); postorder(currentRoot.rightChild); System.out.print(currentRoot.age+" "); } } //私有方法，用迭代方法来获取左子树和右子树的最大深度，返回两者最大值 private int getDepth(Node currentNode,int initDeep){ int deep = initDeep; //当前节点已到达的深度 int leftDeep = initDeep; int rightDeep = initDeep; if(currentNode.leftChild != null){ //计算当前节点左子树的最大深度 leftDeep = getDepth(currentNode.leftChild, deep+1); } if(currentNode.rightChild != null){ //计算当前节点右子树的最大深度 rightDeep = getDepth(currentNode.rightChild, deep+1); } return Math.max(leftDeep, rightDeep); } //获取树的深度 public int getTreeDepth(){ if(root == null){ return 0; } return getDepth(root,1); } //返回关键值最大的节点 public Node getMax(){ if(isEmpty()){ return null; } Node cur = root; while(cur.rightChild != null){ cur = cur.rightChild; } return cur; } //返回关键值最小的节点 public Node getMin(){ if(isEmpty()){ return null; } Node cur = root; while(cur.leftChild != null){ cur = cur.leftChild; } return cur; } //以树的形式打印出该树 public void displayTree(){ int depth = getTreeDepth(); ArrayList<Node> currentLayerNodes = new ArrayList<Node> (); currentLayerNodes.add(root); //存储该层全部节点 int layerIndex = 1; while(layerIndex <= depth){ int NodeBlankNum = (int)Math.pow(2, depth-layerIndex)-1; //在节点之前和之后应该打印几个空位 for(int i = 0;i<currentLayerNodes.size();i++){ Node node = currentLayerNodes.get(i); printBlank(NodeBlankNum); //打印节点之前的空位 if(node == null){ System.out.print("* "); //假设该节点为null，用空位取代 }else{ System.out.print("* "+node.age+" "); //打印该节点 } printBlank(NodeBlankNum); //打印节点之后的空位 System.out.print("* "); //补齐空位 } System.out.println(); layerIndex++; currentLayerNodes = getAllNodeOfThisLayer(currentLayerNodes); //获取下一层全部的节点 } } //获取指定节点集合的全部子节点 private ArrayList getAllNodeOfThisLayer(List parentNodes){ ArrayList list = new ArrayList<Node>(); Node parentNode; for(int i=0;i<parentNodes.size();i++){ parentNode = (Node)parentNodes.get(i); if(parentNode != null){ if(parentNode.leftChild != null){ //假设上层的父节点存在左子节点，增加集合 list.add(parentNode.leftChild); }else{ list.add(null); //假设上层的父节点不存在左子节点，用null取代，一样增加集合 } if(parentNode.rightChild != null){ list.add(parentNode.rightChild); }else{ list.add(null); } }else{ //假设上层父节点不存在，用两个null占位，代表左右子节点 list.add(null); list.add(null); } } return list; } //打印指定个数的空位 private void printBlank(int num){ for(int i=0;i<num;i++){ System.out.print("* "); } } //判空 public boolean isEmpty(){ return (root == null); } //推断是否为叶子节点 public boolean isLeaf(Node node){ return (node.leftChild != null || node.rightChild != null); } //获取根节点 public Node getRoot(){ return root; } }
displayTree方法依照树的形状打印该树。对一颗深度为3的二叉树的打印效果例如以下图所看到的：
