矩阵求导术（上）

原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $oldsymbol{x}$ 表示向量，大写字母X表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为 $frac{partial f}{partial X} = left[frac{partial f }{partial X_{ij}} ight]$ ，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素 $X_{ij}$ 的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系： $df = f'(x)dx$ ；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系： $df = sum_{i} frac{partial f}{partial x_i}dx_i = frac{partial f}{partial oldsymbol{x}}^T doldsymbol{x}$ ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度 $frac{partial f}{partial oldsymbol{x}}$ 与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系： $df = sum_{i,j} frac{partial f}{partial X_{ij}}dX_{ij} = ext{tr}left(frac{partial f}{partial X}^T dX ight)$ ，这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B， $ext{tr}(A^TB) = sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ ，即 $ext{tr}(A^TB)$ 是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如 $f = log(2+sin x)e^{sqrt{x}}$ ，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

加减法： $d(Xpm Y) = dX pm dY$ ；矩阵乘法： $d(XY) = dX Y + X dY$ ；转置： $d(X^T) = (dX)^T$ ；迹： $d ext{tr}(X) = ext{tr}(dX)$ 。
逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 两侧求微分来证明。
行列式： $d|X| = ext{tr}(X^{#}dX)$ ，其中 $X^{#}$ 表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作 $d|X|= |X| ext{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法： $d(Xodot Y) = dXodot Y + Xodot dY$ ， $odot$ 表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
逐元素函数： $dsigma(X) = sigma'(X)odot dX$ ， $sigma(X) = left[sigma(X_{ij}) ight]$ 是逐元素运算的标量函数。

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 $df = ext{tr}left(frac{partial f}{partial X}^T dX ight)$ ，在求出左侧的微分 $df$ 后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

标量套上迹： $a = ext{tr}(a)$
转置： $mathrm{tr}(A^T) = mathrm{tr}(A)$ 。
线性： $ext{tr}(Apm B) = ext{tr}(A)pm ext{tr}(B)$ 。
矩阵乘法交换： $ext{tr}(AB) = ext{tr}(BA)$ 。两侧都等于 $sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$ 。
矩阵乘法/逐元素乘法交换： $ext{tr}(A^T(Bodot C)) = ext{tr}((Aodot B)^TC)$ 。两侧都等于 $sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ 。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得 $frac{partial f}{partial Y}$ ，而Y是X的函数，如何求 $frac{partial f}{partial X}$ 呢？在微积分中有标量求导的链式法则 $frac{partial f}{partial x} = frac{partial f}{partial y} frac{partial y}{partial x}$ ，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数 $frac{partial Y}{partial X}$ 截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 $df = ext{tr}left(frac{partial f}{partial Y}^T dY ight)$ ，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到 $frac{partial f}{partial X}$ 。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1： $f = oldsymbol{a}^T Xoldsymbol{b}$ ，求 $frac{partial f}{partial X}$ 。

解：先使用矩阵乘法法则求微分： $df = oldsymbol{a}^T dXoldsymbol{b}$ ，再套上迹并做交换： $df = ext{tr}(oldsymbol{a}^TdXoldsymbol{b}) = ext{tr}(oldsymbol{b}oldsymbol{a}^TdX)$ ，对照导数与微分的联系，得到 $frac{partial f}{partial X} = oldsymbol{a}oldsymbol{b}^T$ 。

注意：这里不能用 $frac{partial f}{partial X} =oldsymbol{a}^T frac{partial X}{partial X}oldsymbol{b}=?$ ，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2【线性回归】： $l = |Xoldsymbol{w}- oldsymbol{y}|^2$ ，求 $frac{partial l}{partial oldsymbol{w}}$ 。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成 $l = (Xoldsymbol{w}- oldsymbol{y})^T(Xoldsymbol{w}- oldsymbol{y})$ ，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则： $dl = (Xdoldsymbol{w})^T(Xoldsymbol{w}-oldsymbol{y})+(Xoldsymbol{w}-oldsymbol{y})^T(Xdoldsymbol{w}) = 2(Xoldsymbol{w}-oldsymbol{y})^TXdoldsymbol{w}$ 。对照导数与微分的联系，得到 $frac{partial l}{partial oldsymbol{w}}= 2X^T(Xoldsymbol{w}-oldsymbol{y})$ 。

例3【多元logistic回归】： $l = -oldsymbol{y}^Tlog ext{softmax}(Woldsymbol{x})$ ，求 $frac{partial l}{partial W}$ 。其中 $oldsymbol{y}$ 是除一个元素为1外其它元素为0的向量； $ext{softmax}(oldsymbol{a}) = frac{exp(oldsymbol{a})}{oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a})}$ ，其中 $exp(oldsymbol{a})$ 表示逐元素求指数， $oldsymbol{1}$ 代表全1向量。

解：首先将softmax函数代入并写成 $l = -oldsymbol{y}^T left(log (exp(Woldsymbol{x}))-oldsymbol{1}log(oldsymbol{1}^Texp(Woldsymbol{x})) ight) = -oldsymbol{y}^TWoldsymbol{x} + log(oldsymbol{1}^Texp(Woldsymbol{x}))$ ，这里要注意逐元素log满足等式 $log(oldsymbol{u}/c) = log(oldsymbol{u}) - oldsymbol{1}log(c)$ ，以及 $oldsymbol{y}$ 满足 $oldsymbol{y}^T oldsymbol{1} = 1$ 。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则： $dl =- oldsymbol{y}^TdWoldsymbol{x}+frac{oldsymbol{1}^Tleft(exp(Woldsymbol{x})odot(dWoldsymbol{x}) ight)}{oldsymbol{1}^Texp(Woldsymbol{x})}$ 。再套上迹并做交换，注意可化简 $oldsymbol{1}^Tleft(exp(Woldsymbol{x})odot(dWoldsymbol{x}) ight) = exp(Woldsymbol{x})^TdWoldsymbol{x}$ ，这是根据等式 $oldsymbol{1}^T (oldsymbol{u}odot oldsymbol{v}) = oldsymbol{u}^T oldsymbol{v}$ ，故 $dl = ext{tr}left(-oldsymbol{y}^TdWoldsymbol{x}+frac{exp(Woldsymbol{x})^TdWoldsymbol{x}}{oldsymbol{1}^Texp(Woldsymbol{x})} ight) = ext{tr}(oldsymbol{x}( ext{softmax}(Woldsymbol{x})-oldsymbol{y})^TdW)$ 。对照导数与微分的联系，得到 $frac{partial l}{partial W}= ( ext{softmax}(Woldsymbol{x})-oldsymbol{y})oldsymbol{x}^T$ 。

另解：定义 $oldsymbol{a} = Woldsymbol{x}$ ，则 $l = -oldsymbol{y}^Tlog ext{softmax}(oldsymbol{a})$ ，先如上求出 $frac{partial l}{partial oldsymbol{a}} = ext{softmax}(oldsymbol{a})-oldsymbol{y}$ ，再利用复合法则： $dl = ext{tr}left(frac{partial l}{partial oldsymbol{a}}^Tdoldsymbol{a} ight) = ext{tr}left(frac{partial l}{partial oldsymbol{a}}^TdW oldsymbol{x} ight) = ext{tr}left(oldsymbol{x}frac{partial l}{partial oldsymbol{a}}^TdW ight)$ ，得到 $frac{partial l}{partial W}= frac{partial l}{partialoldsymbol{a}}oldsymbol{x}^T$ 。

例4【方差的最大似然估计】：样本 $oldsymbol{x}_1,dots, oldsymbol{x}_nsim N(oldsymbol{mu}, Sigma)$ ，其中 $Sigma$ 是对称正定矩阵，求方差 $Sigma$ 的最大似然估计。写成数学式是： $l = log|Sigma|+frac{1}{n}sum_{i=1}^n(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})^TSigma^{-1}(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})$ ，求 $frac{partial l }{partial Sigma}$ 的零点。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是 $dlog|Sigma| = |Sigma|^{-1}d|Sigma| = ext{tr}(Sigma^{-1}dSigma)$ ，第二项是 $frac{1}{n}sum_{i=1}^n(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})^TdSigma^{-1}(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}}) = -frac{1}{n}sum_{i=1}^n(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})^TSigma^{-1}dSigmaSigma^{-1}(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})$ 。再给第二项套上迹做交换： $dl = ext{tr}left(left(Sigma^{-1}-Sigma^{-1}SSigma^{-1} ight)dSigma ight)$ ，其中 $S = frac{1}{n}sum_{i=1}^n(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})(oldsymbol{x}_i-oldsymbol{ar{x}})^T$ 定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有 $frac{partial l }{partial Sigma}=(Sigma^{-1}-Sigma^{-1}SSigma^{-1})^T$ ，其零点即 $Sigma$ 的最大似然估计为 $Sigma = S$ 。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】： $l = -oldsymbol{y}^Tlog ext{softmax}(W_2sigma(W_1oldsymbol{x}))$ ，求 $frac{partial l}{partial W_1}$ 和 $frac{partial l}{partial W_2}$ 。其中 $oldsymbol{y}$ 是除一个元素为1外其它元素为0的向量， $ext{softmax}(oldsymbol{a}) = frac{exp(oldsymbol{a})}{oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a})}$ 同例3， $sigma(cdot)$ 是逐元素sigmoid函数 $sigma(a) = frac{1}{1+exp(-a)}$ 。

解：定义 $oldsymbol{a}_1=W_1oldsymbol{x}$ ， $oldsymbol{h}_1 = sigma(oldsymbol{a}_1)$ ， $oldsymbol{a}_2 = W_2 oldsymbol{h}_1$ ，则 $l =-oldsymbol{y}^Tlog ext{softmax}(oldsymbol{a}_2)$ 。在例3中已求出 $frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_2} = ext{softmax}(oldsymbol{a}_2)-oldsymbol{y}$ 。使用复合法则，注意此处 $oldsymbol{h}_1, W_2$ 都是变量： $dl = ext{tr}left(frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_2}^Tdoldsymbol{a}_2 ight) = ext{tr}left(frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_2}^TdW_2 oldsymbol{h}_1 ight) + ext{tr}left(frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_2}^TW_2 doldsymbol{h}_1 ight)$ ，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到 $frac{partial l}{partial W_2}= frac{partial l}{partialoldsymbol{a}_2}oldsymbol{h}_1^T$ ，从第二项得到 $frac{partial l}{partial oldsymbol{h}_1}= W_2^Tfrac{partial l}{partialoldsymbol{a}_2}$ 。接下来求 $frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_1}$ ，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧： $ext{tr}left(frac{partial l}{partialoldsymbol{h}_1}^Tdoldsymbol{h}_1 ight) = ext{tr}left(frac{partial l}{partialoldsymbol{h}_1}^T(sigma'(oldsymbol{a}_1)odot doldsymbol{a}_1) ight) = ext{tr}left(left(frac{partial l}{partialoldsymbol{h}_1}odot sigma'(oldsymbol{a}_1) ight)^Tdoldsymbol{a}_1 ight)$ ，得到 $frac{partial l}{partial oldsymbol{a}_1}= frac{partial l}{partialoldsymbol{h}_1}odotsigma'(oldsymbol{a}_1)$ 。为求 $frac{partial l}{partial W_1}$ ，再用一次复合法则： $ext{tr}left(frac{partial l}{partialoldsymbol{a}_1}^Tdoldsymbol{a}_1 ight) = ext{tr}left(frac{partial l}{partialoldsymbol{a}_1}^TdW_1oldsymbol{x} ight) = ext{tr}left(oldsymbol{x}frac{partial l}{partialoldsymbol{a}_1}^TdW_1 ight)$ ，得到 $frac{partial l}{partial W_1}= frac{partial l}{partialoldsymbol{a}_1}oldsymbol{x}^T$ 。