洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b （莫比乌斯反演+容斥）

题意：求$sum_{i=a}^{b}sum_{j=c}^{d}[gcd(i,j)==k]$（1<=a,b,c,d,k<=50000）。

是洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries加强版，多了下界。

设$f(n,m)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$

根据容斥可以显然的得出Ans=f(b,d)-f(b,c-1)-f(a-1,d)+f(a-1,c-1)。

对于f(n,m)的求解：

$f(n,m)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$
$=sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{k} floor}[gcd(i,j)==1]$
$=sum_{d=1}^{lfloor frac{n}{k} floor}mu(d){lfloor frac{n}{kd} floor}{lfloor frac{m}{kd} floor}$

预处理莫比乌斯函数前缀和，后面整除分块。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=50005;
bool p[N];
int pri[N],tot,mu[N];
void init() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!p[i]) pri[tot++]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=0;j<tot&&pri[j]*i<N;j++) {
            p[pri[j]*i]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll cal(int n,int m,int k) {
    if(n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans+=1LL*(mu[r]-mu[l-1])*(n/k/l)*(m/k/l);
    }
    return ans;
}
int main() {
    init();
    int T,a,b,c,d,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%lld
",cal(b,d,k)-cal(b,c-1,k)-cal(a-1,d,k)+cal(a-1,c-1,k));
    }
    return 0;
}