机器学习读书笔记（六）

一、示例

给定下列训练样本，用AdaBoost算法学习一个强分类器。

 

 求解过程：初始化训练数据的权值分布，令每个权值W1i = 1/N = 0.1，其中，N = 10，i = 1,2, ..., 10，然后分别对于m = 1,2,3, ...等值进行迭代。

1 迭代过程1

对于m=1，在权值分布为D1（10个数据，每个数据的权值皆初始化为0.1）的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.3（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.3），
阈值v取5.5时误差率最低为0.4（x < 5.5时取1，x > 5.5时取-1，则3 4 5 6 7 8皆分错，误差率0.6大于0.5，不可取。故令x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.4），
阈值v取8.5时误差率为0.3（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.3）。

可以看到，无论阈值v取2.5，还是8.5，总得分错3个样本，故可任取其中任意一个如2.5，弄成第一个基本分类器为：

上面说阈值v取2.5时则6 7 8分错，所以误差率为0.3，更加详细的解释是：因为样本集中

0 1 2对应的类（Y）是1，因它们本身都小于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“1”中，分对了。
3 4 5本身对应的类（Y）是-1，因它们本身都大于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“-1”中，分对了。
但6 7 8本身对应类（Y）是1，却因它们本身大于2.5而被G1(x)分在了类"-1"中，所以这3个样本被分错了。
9本身对应的类（Y）是-1，因它本身大于2.5，所以被G1(x)分在了相应的类“-1”中，分对了。

从而得到G1(x)在训练数据集上的误差率（被G1(x)误分类样本“6 7 8”的权值之和）e1=P(G1(xi)≠yi) = 3*0.1 = 0.3。

然后根据误差率e1计算G1的系数：

这个a1代表G1(x)在最终的分类函数中所占的权重，为0.4236。

接着更新训练数据的权值分布，用于下一轮迭代：

值得一提的是，由权值更新的公式可知，每个样本的新权值是变大还是变小，取决于它是被分错还是被分正确。

即如果某个样本被分错了，则yi * Gm(xi)为负，负负得正，结果使得整个式子变大（样本权值变大），否则变小。

第一轮迭代后，最后得到各个数据新的权值分布D2 = (0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)。

分类函数

f1(x)= a1*G1(x) = 0.4236G1(x)。

此时，得到的第一个基本分类器sign(f1(x))在训练数据集上有3个误分类点（即6 7 8）。

 

2 迭代过程2

对于m=2，在权值分布为D2 = (0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715,  0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.1666*3（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.1666*3）
阈值v取5.5时误差率最低为0.0715*4（x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.0715*3 + 0.0715）
阈值v取8.5时误差率为0.0715*3（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.0715*3）。

所以，阈值v取8.5时误差率最低，故第二个基本分类器为：

很明显，G2(x)把样本“3 4 5”分错了，根据D2可知它们的权值为0.0715, 0.0715,  0.0715，所以G2(x)在训练数据集上的误差率e2=P(G2(xi)≠yi) = 0.0715 * 3 = 0.2143。

计算G2的系数：

更新训练数据的权值分布：

D3 = (0.0455, 0.0455, 0.0455, 0.1667, 0.1667,  0.01667, 0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)。被分错的样本“3 4 5”的权值变大，其它被分对的样本的权值变小。

分类函数

f2(x)=0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)

 

3 迭代过程3

对于m=3，在权值分布为D3 = (0.0455, 0.0455, 0.0455, 0.1667, 0.1667,  0.01667, 0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)的训练数据上，经过计算可得：

阈值v取2.5时误差率为0.1060*3（x < 2.5时取1，x > 2.5时取-1，则6 7 8分错，误差率为0.1060*3），
阈值v取5.5时误差率最低为0.0455*4（x > 5.5时取1，x < 5.5时取-1，则0 1 2 9分错，误差率为0.0455*3 + 0.0715），
阈值v取8.5时误差率为0.1667*3（x < 8.5时取1，x > 8.5时取-1，则3 4 5分错，误差率为0.1667*3）。

所以阈值v取5.5时误差率最低，故第三个基本分类器为：

此时，被误分类的样本是：0 1 2 9，这4个样本所对应的权值皆为0.0455，

所以G3(x)在训练数据集上的误差率e3 = P(G3(xi)≠yi) = 0.0455*4 = 0.1820。

计算G3的系数：

分类函数：

f3(x)=0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)+0.7514G3(x)

此时，得到的第三个基本分类器sign(f3(x))在训练数据集上有0个误分类点。至此，整个训练过程结束。

 

现在，咱们来总结下3轮迭代下来，各个样本权值和误差率的变化，如下所示（其中，样本权值D中加了下划线的表示在上一轮中被分错的样本的新权值）：

训练之前，各个样本的权值被初始化为D1 = (0.1, 0.1,0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)；
第一轮迭代中，样本“6 7 8”被分错，对应的误差率为e1=P(G1(xi)≠yi) = 3*0.1 = 0.3，此第一个基本分类器在最终的分类器中所占的权重为a1 = 0.4236。第一轮迭代过后，样本新的权值为D2 = (0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715,  0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)；
第二轮迭代中，样本“3 4 5”被分错，对应的误差率为e2=P(G2(xi)≠yi) = 0.0715 * 3 = 0.2143，此第二个基本分类器在最终的分类器中所占的权重为a2 = 0.6496。第二轮迭代过后，样本新的权值为D3 = (0.0455, 0.0455, 0.0455, 0.1667, 0.1667,  0.01667, 0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)；
第三轮迭代中，样本“0 1 2 9”被分错，对应的误差率为e3 = P(G3(xi)≠yi) = 0.0455*4 = 0.1820，此第三个基本分类器在最终的分类器中所占的权重为a3 = 0.7514。第三轮迭代过后，样本新的权值为D4 = (0.125, 0.125, 0.125, 0.102, 0.102,  0.102, 0.065, 0.065, 0.065, 0.125)。

从上述过程中可以发现，如果某些个样本被分错，它们在下一轮迭代中的权值将被增大，同时，其它被分对的样本在下一轮迭代中的权值将被减小。就这样，分错样本权值增大，分对样本权值变小，而在下一轮迭代中，总是选取让误差率最低的阈值来设计基本分类器，所以误差率e（所有被Gm(x)误分类样本的权值之和）不断降低。

综上，将上面计算得到的a1、a2、a3各值代入G(x)中，G(x) = sign[f3(x)] = sign[ a1 * G1(x) + a2 * G2(x) + a3 * G3(x) ]，得到最终的分类器为：

G(x) = sign[f3(x)] = sign[ 0.4236G1(x) + 0.6496G2(x)+0.7514G3(x) ]。

 

二、算法流程

总结一下，得到AdaBoost的算法流程：

1）输入：训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),(xN,yN)}T={(x1,y1),(x2,y2),(xN,yN)}，其中，xi∈X⊆Rnxi∈X⊆Rn，yi∈Y=−1,1yi∈Y=−1,1，迭代次数M

2）初始化训练样本的权值分布:D1=(w1,1,w1,2,…,w1,i),w1,i=1N,i=1,2,…,ND1=(w1,1,w1,2,…,w1,i),w1,i=1N,i=1,2,…,N。

3）对于m=1,2,…,M：

3.1）使用具有权值分布DmDm的训练数据集进行学习，得到弱分类器Gm(x)

3.2）计算Gm(x)Gm(x)在训练数据集上的分类误差率：

 

3.3）计算Gm(x)Gm(x)在强分类器中所占的权重：

3.4）更新训练数据集的权值分布（这里，zmzm是归一化因子，为了使样本的概率分布和为

 

4）得到最终分类器:

三、公式推导

现在我们来搞清楚上述公式是怎么来的。

Adaboost的最终分类器：

这个最终分类器其实就是一个加法模型。只是这个加法模型由基本分类器及其系数组成，m = 1, 2, ..., M。前向分步算法逐一学习基函数的过程，与Adaboost算法逐一学习各个基本分类器的过程一致。

下面，咱们便来证明：当前向分步算法的损失函数是指数损失函数

 

 时，其学习的具体操作等价于Adaboost算法的学习过程。

假设经过m-1轮迭代，前向分步算法已经得到：

 

而后在第m轮迭代得到、和。其中，为：

 

 而和未知。所以，现在咱们的目标便是根据前向分步算法训练和，使得最终在训练数据集T上的指数损失最小，即

针对这种需要求解多个参数的情况，可以先固定其它参数，求解其中一两个参数，然后逐一求解剩下的参数。例如我们可以固定和，只针对和做优化。

换言之，在面对和 这2m个参数都未知的情况下，可以：

1）先假定和已知，求解出和；

2）然后再逐一求解其它未知参数。

且考虑到上式中的既不依赖也不依赖G，所以是个与最小化无关的固定值，记为，即，则上式可以表示为（后面要多次用到这个式子，简记为）：

值得一提的是，虽然与最小化无关，但依赖于，随着每一轮迭代而发生变化。

接下来，便是要证使得上式达到最小的和就是Adaboost算法所求解得到的和。

为求解上式，咱们先求再求。

首先求。对于任意，使上式最小的G(x)由下式得到：

 

别忘了，

 跟上述的误差率的计算公式对比下：

 

可知，上面得到的便是Adaboost算法的基本分类器，因为它是在第m轮加权训练数据时，使分类误差率最小的基本分类器。换言之，这个便是Adaboost算法所要求的，别忘了，在Adaboost算法的每一轮迭代中，都是选取让误差率最低的阈值来设计基本分类器。

 然后求。还是回到之前的这个式子上：

 

这个式子的后半部分可以进一步化简，得：

接着将上面求得的

代入上式中，且对求导，令其求导结果为0，即得到使得一式最小的，即为：

此外，毫无疑问，上式中的便是误差率：

即就是被Gm(x)误分类样本的权值之和。

就这样，结合模型，跟，可以推出

从而有：

与上文介绍的权值更新公式

相比，只相差一个规范化因子，即后者多了一个

 

所以，整个过程下来，我们可以看到，前向分步算法逐一学习基函数的过程，确实是与Adaboost算法逐一学习各个基本分类器的过程一致，两者完全等价。