关于树状数组的几点总结

本文不一定适合初学者

零、树状数组的基本概念

1.概念：

树状数组是一种支持对数列进行快速的区间操作（如：区间编号为1~10的值统一增加某个数）的数据结构。

2.实现原理：

二进制加法
位运算
补码和原码
（第一个决定了这个数据结构的理论有效性，第二和第三个决定了具体实现）

3.特性：

如果观察树状数组的结构，可以发现：树状数组的结构就像是一个去掉右结点的线段树的结构.（这决定了树状数组的空间复杂度为 $O(n)$
代码量很少，最基本的树状数组（单点修改区间查询）的有效代码可能还不到十行.

一、单点修改区间查询

1.概念：

这是树状数组最基本的应用，也就是支持单点修改区间查询（时间复杂度均为 $O(logn)$ ）

2.实现原理：

图片：

3.具体实现（这里只写大概的运行过程）：

$A[ ]$ 数组的用途：用于保存原数列各元素的值.
$C[ ]$ 数组的用途（假设一个C数组的下标i）：用于保存在i的二进制表示中，最后一位1后面的0的数量的，从i开始往左走这个数量步，经过的a数组中的每一个值，的和.（如果写的不清楚可以看图）
实现原理：二进制刚好满足这个条件.（结合下标观察+自己手写即可理解）
单点修改（假设要给序列中序号为i的地方的值增加x）：

不停获取i的二进制表示中的最后一位1所代表的值（将这个值设为b）
在操作过程中（在循环中给i增加b之前），向C数组中下标为i的地方增加x
进行i+b这个操作（这使得i的值在最坏情况下也会在 $log_{2}{n}$ 次达到 $n$ （估算））
判断i的值是否到n

区间查询：

准备进行两次求前缀和的操作（假设要获取区间a[i...j]的总值，则计算 $a[1...j]-a[1...i]$ 即可，也就是求两次前缀和）
（单次求前缀和操作过程与单点查询恰好相反）（下面只写求单次前缀和的过程，具体可看代码.）
初始化ans=0，准备用于存储查询结果
不停获取i的二进制表示中的最后一位1所代表的值（将这个值设为b）
在操作过程中（在循环中给i减少b之前），向ans增加x
进行 $i-b$ 这个操作（这使得i的值在最坏情况下也会在 $log_{2}{n}$ 次达到 $0$ （估算））
判断i的值是否到0

一句话总结：修改时改比自己大的，改到头；查询时利用前缀和的思想算差值即可.

题目地址：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,c[500010];
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(int x,int k){
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[x]+=k;
}
int sum(int x,int y){
    int ans=0;
    for(;y;y-=lowbit(y)){
        ans+=c[y];
    }
    for(x--;x;x-=lowbit(x)){
        ans-=c[x];
    }
    return ans;
}
int main(){
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k;
        scanf("%d",&k);
        add(i,k);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ta,tb,tc;
        scanf("%d%d%d",&ta,&tb,&tc);
        if(ta==1){
            add(tb,tc);
        }else if(ta==2){
            cout<<sum(tb,tc)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

二、区间修改单点查询

1.概念：

使用普通的树状数组维护差分数组，即可实现"区间修改单点查询"的操作.

2.实现原理：

b[l...n]+delta,b[r+1...n]-delta <=> a[l...r]+delta.
区间修改：将原有的单点修改改为两次对单点的值修改.
单点查询：对于任意一个数，在树状数组内仅有在它之前的数可能影响它，因此只要(while(x)x-=lowbit(x){ans+=tr[x]}即可.

题目地址： https://www.luogu.org/problemnew/show/P3368

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
long long c[500050];
int n,m;
void add(int x,int num){
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[x]+=num;
}
long long query(int x){
    long long ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x)){
        ans+=c[x];
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int last=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ta;
        scanf("%d",&ta);
        add(i,ta-last);
        last=ta;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ta;
        scanf("%d",&ta);
        if(ta==1){
            int tb,tc,td;
            scanf("%d%d%d",&tb,&tc,&td);
            add(tb,td);
            add(tc+1,-td);
        }else if(ta==2){
            int tb;
            scanf("%d",&tb);
            cout<<query(tb)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}