AtCoder ABC 042D いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

题目链接：https://abc042.contest.atcoder.jp/tasks/arc058_b

题目大意：

　　给定一个 H * W 的矩阵，其中左下角 A * B 区域是禁区，要求在不踏入禁区的前提下，从左上角走到右下角一共有多少种走法？

分析：

　　设 D 为往下，R为往左。

这里举个 H = 10，W = 7，A = 3，B = 4的例子：

首先不管怎么走，路线都是要跨越蓝色边界线的，这里我们只讨论从 A 跨越到 B 的情况，其余情况同理。

在这种情况下，总的路数就是所有从 S 走到 A 的路线总数乘上所有从 B 走到 T 的路线总数。

从 S 走到 A 的路线总数就是组合数 C(5, 2)，这是因为从 S 走到 A 需要走2个 D 和3个 R，也就是说，2个 D 和3个 L 能组合出多少不同的序列，这是非常基本的组合题，答案就是5个里选2个即 C(5, 2)。

同理从 B 走到 T 的路线总数为 C(9, 2)。

于是这种情况下的总路数为 C(5, 2) * C(9, 2)。

 

找一下规律把所有情况加起来即可，注意数据规模很大，所以在求组合数时要用到逆元。

代码如下：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define INIT() std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
 
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
 
template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
    in >> p.first >> p.second;
    return in;
}
 
template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
    for (auto &x: v)
        in >> x;
    return in;
}
 
template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
    out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
";
    return out;
}
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef set< int > SI;
typedef vector< int > VI;
typedef map< int, int > MII;
const double EPS = 1e-10;
const int inf = 1e9 + 9;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int maxN = 1e5 + 7;
const LL ONE = 1;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555;

LL fac[2 * maxN];
void init_fact() {
    fac[0] = 1;
    For(i, 1, 2 * maxN - 1) {
        fac[i] = (i * fac[i - 1]) % mod;
    }
}

//ax + by = gcd(a, b) = d
// 扩展欧几里德算法
inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}

// 求a关于p的逆元，如果不存在，返回-1 
// a与p互质，逆元才存在 
inline LL inv_mod(LL a, LL p){
    LL d, x, y;
    ex_gcd(a, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

// Calculate x^y % p
inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p){
    LL ans = 1;
    while(y){
        if(y & 1) ans = (ans * x) % p;
        x = (x * x) % p;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
} 

inline LL comb_mod(LL m,LL n){
    LL ans;
    if(m > n) swap(m, n);
    
    ans = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
    ans = (ans * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod;
    
    return ans;
}

int H, W, A, B;
LL ans;

int main(){
    INIT();
    init_fact();
    cin >> H >> W >> A >> B; 
    For(i, 1, H - A) {
        ans += (comb_mod(i - 1, i + B - 2) * comb_mod(W - B - 1, W - B + H - i - 1)) % mod;
        ans %= mod;
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}