牛顿迭代法求n方根

一、简单推导

二、使用

借助上述公式，理论上可以求任意次方根，假设要求a（假设非负）的n次方根，则有xⁿ=a，令f(x)=xⁿ-a，则只需求f(x)=0时x的值即可。由上述简单推导知，当f(x)=0时，x_n+1=x_n，因此把f(x)=xⁿ-a 代入上述迭代式进行迭代直至x_n+1=x_n即可。

实际中x_n+1=x_n可能永远达不到，可以根据给定精度△，当|x_n+1-x_n|<△成立时即可停止迭代，此时的x_n+1即为所求。

下面以算术平方根和立方根举例。

（一）算术平方根

设待求算术平方根的数为a，其算术平方根为x，则x²=a，令f(x)=x²-a，代入上面的递推式有x_n+1=x_n-(x_n²-a)/(2x_n)，整理得x_n+1=(1/2)(x_n+a/x_n)

代码如下：

double sqrt(double a)
{
    double x1=a;
    double x2=a/2;
    while(fabs(x1-x2)>0.0000001)
    {
        //printf("%f
",x2);
        x1=x2;
        x2=0.5*(x1+a/x1);
    }
    return x2;
}

（二）立方根

同理，令f(x)=x³-a，代入递推式有x_n+1=x_n-(x_n³-a)/(3x_n²)，整理得x_n+1=(1/3)(2x_n+a/x_n²)

代码如下：

double cubrt(double a)
{
    double x1=a;
    double x2=a/2;
    while(fabs(x1-x2)>0.0000001)
    {
        //printf("%f
",x2);
        x1=x2;
        x2=(2*x1+a/(x1*x1))/3.0;
    }
    return x2;
}

三、（题外话）手算算式平方根

顺便提下，在网上看到了一个手动列算式求解任意正整数算术平方根的方法，如下：