多种相似距离对比

因某些原因需要对样本进行相似度方面的计算，对常见的几种距离公式进行了一系列实验。

距离公式：距离的衡量在相似度衡量中占据了重要的地位，不同的距离公式有其不同的应用场景，都是为了解决某类问题而诞生的，本文期望对这些距离公式能有个”0距离”的亲密接触。

1. 欧氏距离
2. 切比雪夫距离
3. 曼哈度距离
4. 闵可夫斯基距离
5. 兰氏距离
6. COS余弦距离

1. 欧氏距离
欧式来源于顶顶大名的欧几里得，那么自然会想到空间几何，以其名义命名的距离公式是初中就接触到的距离公式，在二维空间中其几何意义表示的两点之间的直线距离，有了这个你就应该知道，在这里它认为你的这两维量纲是一样的（X轴，Y轴），所以什么时候该用距离公式自己看着办罗。（注意：距离用虚线表示）。
附上代码（writen by R）
Euclidean <- function(x,y){
sqrt(sum((x-y)^2))
}

2. 切比雪夫距离
都说切比雪夫距离公式起源于国际象棋，我不想不懂装懂，国际象棋还真不记得怎么玩了，anyway，猜想应该是和某种策略相关的，根据公式来看，其将各维度上最大距离作为最终距离，可以看出该公式认为不同维度的量纲也是一致的。
Chebyshev <- function(x,y){
max(abs(x-y))
}

3. 曼哈度距离
该公式来源于度量城市距离，因为城市一般为方形的街区建设，因此该公式本质上是度量从地图上某点x到某点y的街区距离，根据公式来看，其将各维度上所有距离和作为最终距离，可以看出该公式认为不同维度的量纲也是一致的。
Manhattan <- function(x,y){
sum(abs(x-y))
}

1. 欧氏距离
2. 切比雪夫距离
3. 曼哈度距离
4. 闵可夫斯基距离
5. 兰氏距离
6. COS余弦距离

4. 闵可夫斯基距离
该距离公式应该被称为通用距离公式，其代表的是一组距离公式，当p=1的时候，其与曼哈度公式等价；当P=2的时候，其与欧氏距离等价；当p->无穷的时候，其与切比雪夫距离等价（后续进行简单证明）

因此可以说闵可夫斯基距离是定义了通用距离，这一组通过距离公式在多种相似距离对比（一）中进行过详细描述，他们都具有相同的特性，即认为变量的每个维度都具有同样的量纲维度，具体说明一下：

比如我们在空间坐标中存在二维向量 x(1,20)，y(1,30)，z(11,20)，那么利用闵可夫斯基距离组公式组计算我们会发现sim(x,y)=sim(x,z)是始终成立的，仔细观察x与y的区别是第二维向量增加了10个单位，x与z的区别是第一维向量增加了10个单位，那么闵氏距离组认为，向量的每个维是一样的，因此其在不同的维度上的变换是等价的。这个是闵氏距离组的特点！

当你的向量的各个维度是有不同量纲时，即比如第一维代表身高，第二维代表体重，我们认为身高增加10cm决定不等同于体重增加10斤的时候，那么我们直接使用闵氏距离组公式来测量距离是不合适的。那么我如果硬是要用，该怎样fix这种量纲上的diff呢？这里介绍一种改进的方法可能会有用，但是不保证适用所有场景。

Minkowski <- function(x,y){
(sum((x-y)^p))^(1/p)
}

z-score标准化

该方法也比较简单，即将向量进行标准化，标准化公式为 x=(x-mu )/sigma，其中mu为均值，sigma为方差。假设两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)，那么将欧式距离进行标准化为：

其中，sk为方差。将2换为p，开平方换为开P次方，那么即是标准闵氏距离公式。因为方差sk可以提到括号前面前面去看做一个常量，因此标准闵氏距离组公式也称为加权标准闵氏距离公式。

证明

前面提到当p->无穷的时候，闵氏距离等价于切比雪夫距离，这里给出简单证明思路，我们首先知道一个分数的指数，形如frac{1}{k}^{n} ，当k>1，n趋于无穷时，其极限值趋于0。闵氏距离公式如下：

最后，附上闵氏距离，欧式距离，曼哈度距离的中心图

1. 欧氏距离
2. 切比雪夫距离
3. 曼哈度距离
4. 闵可夫斯基距离
5. 兰氏距离
6. COS余弦距离

5. 兰氏距离

设X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)为空间中的两点，那么兰氏距离d(X,Y)的公式为

可以看出来，兰氏距离与前面几种距离的不同之处即是其已经处理了其量纲，比如当x=(30,3),y=(70,7)，那么dis=|30-70|/100+|3-7|/10=0.4+0.4=0.8；当x=(40,4),y=(60,6)dis=|40-60|/100+|4-6|/10=0.2+0.2=0.4，可以看出兰氏距离对变量的各个维度进行了量纲统一处理，即类似于上文提到的z-score变换，目的是消除各维度量纲不一致引起的距离偏差。

在上文多种相似距离对比（二）中提到的一个case，x(1,20)，y(1,30)，z(11,20)，其中用闵氏距离组公式计算出来sim(x,y)=sim(x,z)，但通常而言，变量的各个维度有其不一样的现实意义，最好能够体现其不同，那么利用兰氏距离计算sim(x,y)=0.2，而sim(x,z)=10/21=0.48，可以看出两者有明显的diff，再仔细观察一下数据，sim(x,y)中起作用的变换是20到30的变换，而sim(x,z)中起作用的变换是1到11，兰氏距离认为1到11的变换要大于20到30的变换，这即是兰氏距离公式的核心思想。

6. COS余弦公式

设X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)为空间中的两点，那么余弦距离s(X,Y)的公式为

这里要强调的一点事余弦距离与以上几种的不同，余弦距离的几何意义是两个向量的夹角大小，是另外一种意义上的"距离”。因为其实在几何空间中进行定义，其对变量各维度也有量纲一致的要求。

总结：下图是这6种距离在匀速增长各维度大小的时候，各种距离公式表示出来的趋势。可以看到虽然增长的幅度不一致，但是各距离公式在自己的幅度曲线下保持着稳定的变换，因为可以说这些距离公式是稳定的；还可以看出曼哈度距离增长最快，而余弦距离增长幅度最慢，切比雪夫距离保持着匀速增长；兰氏距离与余弦距离有类似的增长模式，增长曲线是”曲”的，而其余的曲线是”直”的。