最短路问题以hdu1874为例

hdu 1874比较基础，拿来练各种刚学会的算法比较好，可以避免好多陷阱，典型的最短路模板题

第一种解法：Floyd算法

算法实现：
使用一个邻接矩阵存储边权值，两两之间能访问的必为一个有限的数，不能访问则为无穷大（用2^29代替）。注意自身和自身距离为0。
对于一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个断点 w 使得从 u 经过 w 到 v 比已知的路径更短（包含原始输入中从 u 直接到 v 的路程）。
对所有顶点进行如上松弛操作，得到的结果是两点之间的最短路程，也可判断两点是否连通。
算法缺点：

普通的Floyd算法时间复杂度为O(n^3)，对于数据较多的情况容易TLE。但解决本题 HDU 1874 完全足够。

#include"stdio.h"
#define Max 0xfffffff
int n,m,map[201][201];
int min(int x,int y)
{
	return x>y?y:x;
}
void getmap()
{
	int a,b,i,j,l;
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++)
			map[i][j]=(i==j?0:Max);
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
		map[a][b]=map[b][a]=min(map[a][b],l);
	}
}
void floyd(int s,int e)
{
	int i,j,k;
	for(k=0;k<n;k++)
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<n;j++)
				map[i][j]=min(map[i][j],map[i][k]+map[k][j]);
			printf("%d\n",map[s][e]<Max?map[s][e]:-1);
}
int main()
{
	int s,e;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		getmap();
		scanf("%d%d",&s,&e);
		floyd(s,e);
	}
	return 0;
}

第二种解法：Dijkstra算法

这个算法比较经典，一般的最短路径都可以用这个来解决，耗时也比较少，不过不能处理负权路径
按路径长度递增次序产生最短路径算法：
　　把V分成两组：
　　（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
　　（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
　　将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，
　　保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于
　　从V0到T中任何顶点的最短路径长度
　　（2）每个顶点对应一个距离值
　　S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度
　　T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间
　　顶点的最短路径长度
　　依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的
　　直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
　　（反证法可证）
　　求最短路径步骤
　　算法步骤如下：
　　1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
　　若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
　　若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
　　2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
　　3. 对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的
　　距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值
　　重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即S=T为止

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#define INF 999999
int map[201][201],mark[201];
int n,m,s,e,f[201];
void dijkstra()
{
	int i,j,k,min;
	memset(mark,0,sizeof(mark));
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i]=map[s][i];
	f[s]=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		min=INF;
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			if(!mark[j]&&min>f[j])
			{
				k=j;
				min=f[j];
			}
		}
		if(min==INF)break;
		mark[k]=1;
		for(j=0;j<n;j++)
			if(!mark[j]&&f[j]>f[k]+map[k][j])
			f[j]=map[k][j]+f[k];
	}
	if(f[e]!=INF) printf("%d\n",f[e]);
	else printf("-1\n");
}

int main()
{
	int a,b,l,i,j;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<n;j++)
				map[i][j]=INF;
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
			if(map[a][b]>l)
			map[a][b]=map[b][a]=l;
		}
		scanf("%d%d",&s,&e);
		dijkstra();
	}
	return 0;
}

第三种解法：Bellman_Ford算法

这个算法也比较好理解，就是不断松弛操作，处理含有负权的路径
对有向图G(V,E)，用贝尔曼-福特算法求以Vs为源点的最短路径的过程：
建立dist[]、Pred[],且dist[s] = 0,其余赋无穷。Pred[]表示某节点路径上的父节点
对（Vi，Vj）属于E，比较dist[Vi] + (Vi,Vj)和dist[Vj],并将小的赋给dist[Vj]，如果修改了dist[V_j]则pred[Vj] = Vi（松弛操作）
重复以上操作V ? 1次

再重复操作一次，如dist[Vj] > dist[Vi] + (Vi,Vj),则此图存在负权环。

#include<stdio.h>
#define MAX 1047483647

int m,n,d[208],start,tar;
struct project{
   int x,y,w;
}map[2008];

void Bellman_Ford()
{
   int i,j;
   for(i=0;i<n;i++)//Init
       d[i]=MAX;
   d[start]=0;
   for(i=0;i<n;i++)
       for(j=0;j<2*m;j++)
       {
           if(d[map[j].x]>d[map[j].y]+map[j].w)//relax x --w--> y
               d[map[j].x]=d[map[j].y]+map[j].w;
       }
   if(d[tar]<MAX)
       printf("%d\n",d[tar]);
   else printf("-1\n");
}

int main()
{
   int i;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
       for(i=0;i<m;i++)
       {
           scanf("%d%d%d",&map[i].x,&map[i].y,&map[i].w);//two way road --->   one way road
           map[i+m].y=map[i].x;
           map[i+m].x=map[i].y;
           map[i+m].w=map[i].w;
       }
       scanf("%d%d",&start,&tar);
       Bellman_Ford();
   }
   return 0;
}

第四种解法：SPFA算法

这种算法可以说是Bellman_Ford算法的优化，就是在Bellman_Ford算法的基础上加上队列实现，

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)
算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。

SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm），也是求解单源最短路径问题的一种算法，用来解决：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。 SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算，他的基本算法和Bellman-Ford一样，并且用如下的方法改进： 1、第二步，不是枚举所有节点，而是通过队列来进行优化设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 2、同时除了通过判断队列是否为空来结束循环，还可以通过下面的方法：判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL

SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。 LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

#include<stdio.h>//SPFA 模拟队列实现最短路径
#include<string.h>
#define INF 100000

int map[210][210],flag[210],Q[210],d[210];
int m,n,start,tar;

void SPFA()
{
   int i,x;
   int front=0,rear=0;
   memset(Q,0,sizeof(Q));
   memset(flag,0,sizeof(flag));
   for(i=0;i<n;i++)
       d[i]=INF;
   d[start]=0;
   Q[rear]=start;
   rear++;
   flag[start]=1;
   while(front<rear)
   {
       x=Q[front];//出队列
       front=(front+1)%210;
       flag[x]=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
           if(d[i]>d[x]+map[x][i])
           {
               d[i]=d[x]+map[x][i];
               if(!flag[i])
               {
                   Q[rear]=i;//入队列
                   rear=(rear+1)%210;
                   flag[i]=1;
               }
           }
       }
   }
   if(d[tar]<INF)
       printf("%d\n",d[tar]);
   else printf("-1\n");
}

int main()
{
   int i,j,a,b,c;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
       for(i=0;i<n;i++)
           for(j=0;j<n;j++)
               map[i][j]=INF;
       for(i=0;i<m;i++)
       {
           scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
           if(map[a][b]>c)
           map[a][b]=map[b][a]=c;
       }
       scanf("%d%d",&start,&tar);
       SPFA();
   }
   return 0;
}

其实最短路总结就一句话，不断的进行松弛操作，无论是什么解法，都要进行松弛操作，然后找到最短路径