凹凸函数

中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的，但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集 $C$ （区间）上的实值函数 $f$ ，如果在其定义域 $C$ 上的任意两点 $x,y$ ，以及 $t\in [0,1]$ ，有

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ 。

如果对于任意的 $t\in (0,1)$ 有

$f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)$ ，函数 $f$ 是严格凸的。

若对于任意的 $x,y,z$ ，其中 $x\le z\le y$ ，都有 $f(z)\leq \max\{f(x),\,f(y)\}, \,\,\, \forall x,y,z \,\,\, x\leq z\leq y$ ，则称函数 $f$ 是几乎凸的。

在区间上的凸函数

摘自维基百科